Simetría de espejo de la función de onda de espín-1/2: Definición del operador de reflexión

Question

Yo esperaría de un operador de reflexión $\hat{M}$ para dejar una función de onda sin cambios si se aplican dos veces, así $\hat{M}^2=1$ . Sin embargo, para una partícula de espín-1/2 esto no es así cuando se sigue la definición estándar de $\hat{M}$ . ¿Existe la posibilidad de definir el operador de reflexión de una manera diferente? ¿De dónde viene la definición estándar?

Me refiero a la definición estándar: La acción de una reflexión en el plano yz (con la normal en la dirección x) $\hat{M}_x$ en la parte del espín se expresa mediante una inversión (que no influye en el espín) y una rotación de 180° alrededor del eje x. Rotaciones $\hat{R}_{\alpha}(\vec{n})$ de un ángulo $\alpha$ alrededor del vector $\vec{n}$ puede expresarse a través de: \begin{equation} \hat{R}_{\alpha}(\vec{n}) =exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\vec{n}\right) = \cos \left(\frac{\alpha}{2} \right) - i \vec{\sigma}\cdot\vec{n} \sin \left(\frac{\alpha}{2} \right) \end{equation} con las matrices de Pauli $\vec{\sigma}$ . Para una rotación de 180° alrededor, por ejemplo, del $x$ -eje obtenemos \begin{equation} \hat{R}_{\pi}(\vec{n}_x) = - i \sigma_x = -i \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \, . \fin Obviamente, $\hat{M}_x^2=\hat{R}^2_{\pi}(\vec{n}_x)=-1$ .

Answer 1

Una rotación de 360° de una función de onda de espín 1/2 produce efectivamente un signo "-". Puedes encontrar más detalles en el capítulo sobre el momento angular en Modern Quantum Mechanics de Sakurai.

Por supuesto, este signo menos no afecta a ningún observable, porque estamos calculando probabilidades o valores de expectativa, donde los signos - del sujetador y del ket se anulan mutuamente. Sin embargo, se puede comprobar experimentalmente mediante experimentos de interferometría - Utilizamos un divisor de haz en un haz monoenergético de neutrones para crear dos trayectorias. Introducimos un cambio de fase (=rotación del ket, por ejemplo, utilizando un campo magnético) en un camino, y vemos si la condición de interferencia máxima/mínima se repite para un cambio de fase correspondiente a una rotación de 360° o de 720°. ¡Resulta que la predicción mecánica cuántica es correcta!