Encuentra $\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{3^{2^{n-1}}+1}$

Question

Encuentra $\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{3^{2^{n-1}}+1}$.

Ya probé que converge, pero no puedo encontrar la suma, aunque creo que debería ser $1+\frac{1}{\sqrt3 +1}$, a partir de los cálculos realizados.

Answer 1

Comience con la siguiente expansión del producto infinito que es válida para $|q| < 1$,

$$\prod_{n=0}^\infty \left(1 + q^{2^n}\right) = \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}$$ Tomando el logaritmo y aplicando $q\frac{\partial}{\partial q}$ en ambos lados, se obtiene

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n q^{2^n}}{1 + q^{2^n}} = \frac{q}{1-q}$$

Sustituyendo $q$ por $\frac{1}{\sqrt{3}}$, se obtiene

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{2^{n-1}}+1} = \frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}-1}{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}+1}$$

la expresión que esperabas.

Answer 2

Hay una forma muy simple de evaluar esta suma. Deje

$$a_n = \frac{2^n}{3^{2^{n-1}}-1}$$

Luego

$$\begin{align}a_n-a_{n+1} &= \frac{2^n}{3^{2^{n-1}}-1} - \frac{2^{n+1}}{3^{2^{n}}-1} \\ &= \frac{2^n}{3^{2^{n-1}}-1} \left [1-\frac{2}{3^{2^{n-1}}+1} \right ]\\ &= \frac{2^n}{3^{2^{n-1}}-1} \frac{3^{2^{n-1}}-1}{3^{2^{n-1}}+1}\\ &= \frac{2^n}{3^{2^{n-1}}+1}\end{align}$$

Por lo tanto,

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{3^{2^{n-1}}+1} = a_0-a_{\infty}$$

donde

$$a_0 = \frac{1}{\sqrt{3}-1}$$

y

$$a_{\infty} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{3^{2^{n-1}}-1} = 0$$

Por lo tanto, la suma es $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$. Tenga en cuenta que

$$1+\frac1{\sqrt{3}+1} = 1+\frac{\sqrt{3}-1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac1{\sqrt{3}-1}$$

Answer 3

No hay razón para el término extraño $\frac{2^0}{3^{2^{0-1}}+1}$, así que lo omito.

$$\begin{array}{ll} \sum_{r=1}^\infty\frac{2^r}{3^{2^{r-1}}+1} & =\sum_{r=1}^\infty2^r\sum_{m=1}^\infty(-1)^{m-1}3^{-2^{r-1}m} \\ & =\sum_{n=1}^\infty3^{-n}\sum_{2^{r-1}\mid n}2^r(-1)^{n/2^r-1} \\ & = \sum_{n=1}^\infty 3^{-n}\cdot\color{Red}{2} & \\ & = 2\frac{1/3}{1-1/3} \\ & =1.\end{array}$$

Nota, dado $v:=v_2(n)$, $\displaystyle\sum_{2^{r-1}\mid n}2^r(-1)^{n/2^r-1}$ es $\color{Red}{2}$ si $v=0$ (es decir, $n$ es impar) y en caso contrario

$$=-2\sum_{r=0}^v2^r(-1)^{n/2^r}=-2\left[\sum_{r=0}^{v-1}2^r-2^v\right]=-2\left[\frac{2^v-1}{2-1}-2^v\right]=-2(-1)=\color{Red}{2}$$

si $v>0$ (es decir, $n$ es par).