¿Qué quiso decir Alan Turing cuando dijo que no entendía completamente la dy/dx?

Question

El cuaderno de Alan Turing ha sido vendido recientemente en una casa de subastas en Londres. En él dice esto:

Escrito:

La notación Leibniz $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ Encuentro extremadamente difícil de entender, a pesar de haber sido el que yo entendido mejor una vez! Ciertamente implica que alguna relación entre $x$ y $y$ se ha establecido, por ejemplo. \begin {ecuación} y = x^2 + 3x \end {ecuación}

Intento hacerme una idea de lo que quiso decir con esto. Me imagino que era un poco más hábil en la diferenciación de los primeros principios, así que obviamente está insinuando algo más sutil, pero no puedo acceder a ello.

• ¿Cuál es la profundidad del entendimiento que estaba tratando de adquirir sobre esta operación matemática?
• ¿Qué requiere la notación de diferenciación intuitiva?
• ¿Esta notación saca a relucir toda la sutileza de la diferenciación?
• ¿Qué quiso decir?

Ver aquí para más páginas del cuaderno.

Answer 1

Yo también lo supongo, pero mi suposición es que tiene algo que ver con el hecho de que más allá de su introducción inicial al cálculo, Turing (en común con muchos de nosotros) piensa en un función como la entidad de la que se toma un derivado, ya sea universalmente o en un punto particular. En la notación de Leibnitz, $y$ no es explícitamente una función. Es algo que ha sido previamente relacionado con $x$ pero en realidad es una variable, o un eje de un gráfico, o la salida de la función, no la función o la relación per se .

Definiendo $y$ como si estuviera relacionado con $x$ por $y = x^2 + 3x$ y luego escribiendo $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ para ser "el derivado de $y$ con respecto a $x$ ", bastante razonablemente podría parecerle poco intuitivo y confuso a Turing una vez que está pensando habitualmente en funciones como entidades completas. Eso no quiere decir que no pueda entender a qué se refiere la notación, por supuesto que puede, pero está remarcando que encuentra difícil de comprender adecuadamente.

No sé qué notación prefería Turing, pero la notación de Lagrange era para definir una función $f$ por $f(x) = x^2 + 3x$ y luego escribir $f'$ para el derivado de $f$ . Esto entonces es implícitamente con respecto a $f$ es un argumento único. No tenemos ningún $y$ que tenemos que entender, ni tenemos que lidiar con ningún impulso de entender lo que $\mathrm{d}y$ podría ser en términos de una rigurosa teoría de los infinitesimales. El misterio ha desaparecido. Pero es difícil tratar con las derivadas parciales de las funciones multivariadas en esa notación, así que pagas tu dinero y tomas tu decisión.

Answer 2

Probaré mi mano y daré un posible razonamiento detrás de la confusión de Turing sobre la notación $ \tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} $ . La respuesta corta es que parece discrepar con la notación, basándose en que la diferenciación es un mapeo entre dos espacios de función, pero $y$ parece una variable.

Para responder a la primera parte de su pregunta sobre la profundidad y su significado, baso mi respuesta en la discusión de la página web enlazada. Basándome en la fecha de las notas y la discusión en las fotos, dudo que su argumento se refiera a la interpretación real en términos de diferencias $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y$ y en cambio es de naturaleza más pedante. Al principio de la discusión, habla de los indeterminados y de la diferencia entre un indeterminado y una variable. Más tarde, escribe "¿Cuál es la salida? La notación $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x, y)_{x=y,y=x}$ no parece ayudar en este difícil caso". De esto deduzco que es principalmente el hecho de que no le gusta el uso de $y$ como algo diferenciado. Afirma que $y = x^2 + 3x$ como si dijera que alternativamente podrías reorganizar la ecuación en términos de $x$ Sin embargo, al tomar el derivado, se obtiene otra función, es decir, se tiene una función $f(x)$ que se convierte en $g(x)$ como resultado de la diferenciación $D:f(x) \rightarrow g(x)$ . Así, $y$ no puede ser una variable sino una función si queremos que la diferenciación esté bien definida. Piensa en ello como algo parecido al abuso de la notación.

En cuanto a la intuición y la sutileza, la notación de Leibnitz proporciona ambas, aunque en realidad $$ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = g(x)$$ es más claro que usar $y$ . Desde un punto de vista más intuitivo, puedes pensar en la derivada como una variación en $f$ con respecto a $x$ y de hecho es esta noción la que es más importante que la de secantes y tangentes. La sutileza de la notación es fácilmente aparente cuando se utiliza la regla de la cadena, aunque no se multiplique realmente de forma cruzada (por ejemplo, no funciona con derivados de segundo orden). La sutileza se hace más evidente cuando se abstrae aún más al cálculo vectorial o aún más a los múltiples diferenciables.

Answer 3

No soy un experto en Alan Turing en absoluto, y lo siguiente no responderá directamente a su pregunta, pero podría dar algún contexto. Siguiendo el enlace proporcionado, también encontré la siguiente página, que podría arrojar algo más de luz sobre las cosas:

Dice lo siguiente (mis disculpas por los errores de transcripción, agradezco las correcciones):

Una expresión formal $$ f(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i x^i $$ con la participación de el "indeterminado" (o variable) $x$ cuyos coeficientes $\alpha_i$ son números en un campo $K$ se llama un ( $K$ -)polinomio de formal grado $n$ .

La idea de un "indeterminado" es claramente sutil, yo casi decir demasiado sutil. No es (en cualquier caso como van der Waerden [enlace añadido por mí] lo ve) el igual que la variable. Los polinomios en un indeterminado $x$ , $f_1(x)$ y $f_2(x)$ no se consideraría idéntica si $f_1(x)=f_2(x)$ [para] todos $x$ en $K$ pero los coeficientes difieren. En efecto, son los una serie de coeficientes, con reglas para la multiplicación y la adición sugeridas por su forma

Me inclino por la opinión de que esto es demasiado sutil y hace un inconveniente definición. Prefiero la indeterminada $x$ ser sólo la variable.

Creo que una cosa que hay que tener en cuenta aquí es que en este momento cualquier cosa relacionada con "Computabilidad no fue tan claro como hoy. Después de todo, Turing (una iglesia y compañía) estaba descubriendo las nociones esenciales.

En particular, las cuestiones de intencionalidad contra extensión podría haber sido un problema. Podría ser que Turing estuviera reflexionando sobre la diferencia entre las funciones (y también las operaciones sobre las funciones) desde un punto de vista puramente matemático (es decir, las funciones como objetos extensionales) frente a un punto de vista computacional (es decir, las funciones como alguna forma de descripción formal de un proceso de cálculo, que a priori no puede ser considerado de forma extensional).

Todo esto puede verse todavía en el contexto de la crisis fundamental de las matemáticas (o al menos fuertes ecos de la misma). Relacionadas con esto están, por supuesto, las cuestiones de rigor, formalismo y denotación. Aquí, a su vez, es donde entra su cita. Como otros han esbozado, Turing podría haber hecho la pregunta, qué $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ es (desde un punto de vista formal), pero también lo que denota, y (para su frustración) encontró que la respuesta a su pregunta no era tan clara como él quería que fuera.

Answer 4

Nosotros, que aprendemos la diferenciación basada en el cálculo del límite de cocientes de diferencias, consideramos que la notación Lebniz es sólo una notación. No intentamos agarrar el significado intuitivo de $dx$ y $dy$ . Ni siquiera nos importa.

Supongo que Turing intentaba entender cómo Lebniz podía llegar a sus resultados basándose en esta vaga notación. Supongo que se refiere a dos cosas:

1. Para Leibniz $\frac{dx}{dy}$ debe haber tenido un significado intuitivo especial si la relación entre $y$ y $x$ se le dio. Así que para Leibniz no era sólo una anotación entonces.

2. Turing quizás había pasado por esa vaga comprensión leibniziana antes de aprender el enfoque estándar. Turing debe haber estado pensando en que él mismo perdió esta comprensión trascendental que una vez existió y que fue destruida en su mente por la disciplina matemática desarrollada en el siglo XIX. th siglo.

Answer 5

Para ampliar un poco la respuesta de zoli, la notación Leibniz intuitivamente tiene sentido en que el derivado de una fórmula explícita se define algebraicamente como $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ para cualquier $(x, y)$ par alrededor del cual se define la función (es decir, "se establece la relación").

Por supuesto que todo es especulación, pero tal vez Turing quiso decir que la notación era más difícil de entender (es decir, poco clara, no necesariamente difícil) en una etapa posterior de su carrera, cuando por ejemplo consideraba los derivados de orden superior o intentaba pensar en los derivados sin el constante recordatorio mental de la relación explícita que impartía la notación.