Si un mapa holomorfo $f$ tiene parte real constante en alguna bola $B \subseteq \Omega$ entonces $f$ es constante en $\Omega$ .

Question

Me gustaría saber si mi razonamiento es correcto. He intentado demostrar lo siguiente :

Dejemos que $\Omega \subseteq \Bbb C$ un conjunto abierto conectado, $f : \Omega \to \mathbb C$ una función holomorfa, tal que $u = \Re(f)$ es constante en alguna bola $B \subseteq \Omega$ entonces $f$ es constante en $\Omega$ .

Es suficiente, por la teorema de la identidad para demostrar que $f$ es constante en $B$ .

Si $f$ no era constante en $B$ entonces, utilizando el teorema del mapa abierto , $f(B) = \{c+i\Im(f)(z) \mid z \in B \}$ está abierto en $\Bbb C \cong \mathbb R^2$ , donde $c=\Re(f)(z) \in \Bbb R$ es una constante (en $B$ ). Entonces la proyección $\text{pr}_1(f(B)) = \{c\}$ debe estar abierto en $\Bbb R$ que no es el caso.

Por lo tanto, $f$ es constante en $B$ y en $\Omega$ .

¡Cualquier comentario es bienvenido!

Nota: si $u$ está acotado en $\Bbb C$ entonces mi reclamación ya ha sido contestada aquí .

Answer 1

Le sugiero que en su lugar utilice las ecuaciones de Cauchy-Riemann para concluir que la parte imaginaria de $f$ tiene derivadas parciales nulas en $B$ . Por lo tanto, $f$ es constante en $B$ .

Answer 2

Si $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ es holomorfa y constante en $B\subset \Omega $ entonces $u_x=v_y=0$ y $u_y=-v_x=0$ (por Cauchy-Riemann) y por tanto $v$ también es constante en $B$ . Por lo tanto, $f$ es constante en $B$ .