el ínfimo de un conjunto de medidas exteriores define de nuevo una medida exterior

Question

Consideremos un conjunto de índices $I$ . Para cada $i \in I$ considerar una medida exterior $\mu_i$ . Demostrar que $ \mu= \mathop {\inf }\limits_{i \in I} \mu _i $ define una medida exterior. ¿Es cierto con el supremum?

Claramente $\mu$ satisface $\mu(\phi)=0$ y también satisface $ A\subset B$ $\Rightarrow$ $ \mu(A) \le \mu(B)$ . Queda por demostrar la propiedad subaditiva contable.

Answer 1

La afirmación es falsa: Considere $\Omega = \{a,b\}$ y $\mu_1(\{a\}) = 2 = \mu_1(\{b\})$ , $\mu_1(\{a,b\})=3$ así como $\mu_2(\{a\}) = 3$ , $\mu_2(\{b\}) = 0$ , $\mu_2(\{a,b\}) = 3$ . Entonces $\mu_1, \mu_2$ definir las medidas exteriores en $\Omega$ pero $\mu_1 \wedge \mu_2$ no es una medida exterior. - Sin embargo, funciona con el supremum.

Answer 2

Creo que puedes tomar $\bigwedge_\alpha \mu_\alpha := \sup \nu$ como la medida suprema tomada sobre todas las medidas $\nu$ tal que $\nu(A) \leq \inf_\alpha \mu_\alpha(A), \forall A \subset \Omega$ . Cuando se toma un supremum sobre una familia no vacía de medidas exteriores ( ¿por qué no está vacío, en este caso? ) se obtiene una medida exterior, y de la definición se obtiene $\bigwedge \mu_\alpha \leq \inf_\alpha \mu_\alpha$ y cualquier medida que satisfaga la última desigualdad debe ser menor que nuestra construcción $\bigwedge_\alpha \mu_\alpha$ .