Es $\int_a^b f(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dy$?

Question

Es cierto que

$\int_a^b f(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dy$

?

Simplemente asegurarse de que.

Si no, ¿cómo acerca de:

$\int_a^b f(x) dx = (f(b)-f(a))b - \int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)dx$ ?

Estoy teniendo un tiempo difícil concentrarse ahora mismo, y estoy tratando de averiguar cómo obtener el área bajo una curva cuando la función está invertida.

Answer 1

Para lo que vale, aquí hay un diagrama para acompañar a Brian M. Scott y Leandro respuestas:

Answer 2

No, pero hay una relación entre esas dos cantidades si $f$ es continuamente derivable y estrictamente creciente (usted puede relajarse en la última hipótesis).

Por partes, tenemos $\int_a^b f(x)dx = x f(x)|_a^b - \int_a^b x f'(x)dx = x f(x)|_a^b - \int_a^b f^{-1}(f(x)) f'(x)dx$ = $x f(x)|_a^b - \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(u) du $ donde en el último paso hacemos la sustitución de $u=f(x)$.

Answer 3

No. Tomar $f(x) = x^2$, $a = 0$, $b = 1$. A continuación, en este intervalo de $f$ es integrable y invertible, con $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$, pero las integrales se ve fácilmente a ser diferente.

Answer 4

Usted realmente tiene que:

$$\int_a^b f(x) dx = b f(b) - a f(a) - \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1} (x) dx $$

Este es un gráfico:

El rectángulo $ObCB$ área $b\cdot f(b)$. El rectángulo $OaDA$ área $a \cdot f(a)$. La curva de trapecio $ADCB$ área $\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1} (x) dx $, por lo que se espera que:

$$\int_a^b f(x) dx = \mathcal{A}(ObCB) - \mathcal{A}(OaDA) - \mathcal{A}(ADCB)$$ $$\int_a^b f(x) dx = b f(b) - a f(a) - \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1} (x) dx $$

lo que es realmente cierto.

Recuerde que la función de arranque tiene que ser uno-a-uno y a la inversa para ser definido.

Se puede comprobar una prueba plena en Michael Spivak del Cálculo (aunque él quiere que lo haga, él proporciona los pasos necesarios para hacerlo).

Answer 5

No.

Supongamos que $f(x)$ es continua, estrictamente creciente de la función en $[a,b]$. A continuación, $\int_a^b f(x)dx$ da el área entre la curva y que el segmento de $[a,b]$ $x$- eje, mientras que $\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)dx$ da el área entre la curva y el segmento de $[f(a),f(b)]$ $y$- eje, y es fácil ver que estas dos áreas no necesita ser el mismo. (No son fáciles de ejemplos concretos $-$ ahora veo que Leandro ha dado un$-$, pero incluso un par de fotos debe convencer a usted.)