Encuentra un dominio de atracción para este sistema

Question

Asume el sistema: \begin{align} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} ' &= \begin{pmatrix} -(1-y)x \\ -(1-x)y \\ \end{pmatrix} \fin{align} y la función de Lyapunov $$ V(x,y)=x^2+y^2$$

Para empezar, el origen es un punto de equilibrio y:

$\bullet\,$$ V$ es positivo definido desde $$V(x,y) >0, \quad \forall x,y \in \mathbb{R^2}\setminus(0,0)$$ y $V(0,0)=0$ .

$\bullet\,$ $$ \dot{V}(x,y)=-2\left[x^2-(x^2y+xy^2)+y^2\right]=-2\left[x^2(1-y)+y^2(1-x)\right]$$ Para $\dot{V}$ para ser negativo definido Debemos tener $$ 1-y>0 \iff y<1 \quad\text{and}\quad 1-x<0 \iff x<1 $$ Además, para los discos circulares $x^2+y^2=c$ para estar dentro de la región: $$ R=\Big\{ (x,y)\in \mathbb{R^2}: x<1,y<1\Big\}$$ debemos tener $c<1$ . Por lo tanto, una de las dominios de atracción es: $$ S=\Big\{(x,y)\in \mathbb{R^2}: x^2+y^2 < 1\Big\} $$

Pregunta: Es muy probable que este dominio de atracción no sea el máximo posible. ¿Hay alguna forma de obtener el máximo a partir de la desigualdad $\dot{V}(x,y)<0$ ? ¿Es necesario encontrar el dominio máximo o encontrar uno más pequeño, que se puede derivar fácilmente, hace el trabajo?

Answer 1

Este sistema en particular tiene soluciones de forma cerrada. Las curvas integrales son $x-\ln(|x|)-y+\ln(|y|) =$ constante. En particular, las separatrices que forman la límite de la cuenca de atracción "máxima" de $(0,0)$ son el colector estable del punto de silla de montar $(1,1)$ , es decir, las ramas de $x - \ln(x) - y + \ln(y) = 0$ que no están en $x=y$ .

Answer 2

En la mayoría de los casos, los ejercicios de este tipo se crean adecuadamente para que puedas encontrar el verdadero dominio de atracción correspondiente utilizando la Función de Lyapunov dada, ya que si la Función de Lyapunov hace el truco entonces una desigualdad (o conclusión) estrictamente precisa sobre su signo conduce a la suposición correcta. Nótese que en cualquier modelo general y complicado, encontrar una Función de Lyapunov es, en primer lugar, una tarea muy difícil y complicada, por no hablar de encontrar la exacta que pueda dar el máximo dominio de atracción.

Sin embargo, en su ejercicio, que está precisamente creado, el dominio de atracción que ha arrojado es efectivamente correcto, como se puede ver por el streamplot de abajo, ya que para $x>1$ y $y>1$ las flechas del retrato de fase se "arrastran" :

$\qquad \qquad \qquad$