Dejemos que $A$ ser un $r \times r$ matriz real y $Q$ ser un $n\times r$ matriz cuyas columnas son ortonormales. Sé que $||QA||_2 = ||A||_2$ porque $$||QA||_2 = \max_{||x||_2=1} ||QAx||_2\,= \,\max_{||x||_2=1}x^TA^TQ^TQAx\, = \, \max_{||x||_2=1} x^TA^TAx \,=\, ||A||_2$$ También sé que $||AQ^T||_2\leq ||A||_2||Q^T||_2 = ||A||_2$ .
Mi pregunta: ¿Es $||AQ^T||_2 \,=\, ||A||_2$ ?
Aquí está mi intento parcial: $$||AQ^T||_2 = \max_{||x||_2=1} {||AQ^Tx||} \text{over } x \in \mathbb{R}^n$$ y $$||A||_2 = \max_{||y||_2=1} {||Ay||} \text{over }y \in \mathbb{R}^r$$
Que los máximos se produzcan en $x^*$ y $y^*$ . Como espacio de columna de $Q^T = \mathbb{R}^r$ , $\exists x \,s.t.\, Q^Tx = y^*$ pero $||x|| \neq 1$ . Por lo tanto, tenemos que encontrar la solución de $Q^Tx = y^*$ limitado a $||x||=1$ . ¿Se puede demostrar que esa solución existirá o no?
