Demuestre la convergencia de la integral $F(t,x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp[i\tau t-(i\tau)^{1/2}x - (i\tau)^\theta] \,d\tau$

Question

El problema original es :

Dejemos que $\theta$ sea un número tal que $1/2<\theta<1$ . Demostrar que

$$F(t,x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp[i\tau t-(i\tau)^{1/2}x - (i\tau)^\theta] \,d\tau$$

define un $C^\infty$ función en $\mathbb R^2$ que es una solución de la ecuación de calor homogénea

$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial^2 F}{\partial x ^2}\quad\text{ (in $ \mathbb R^2 $)}$$

He intentado simplificar el integrando pero no he conseguido nada. En primer lugar, quería demostrar que la integral converge, pero no tengo ni idea. ¿Alguien puede darme alguna idea para empezar? Gracias.

Answer 1

Suponiendo que los poderes $(i\tau)^\alpha$ utilizar la rama principal, tenemos, para $\tau\neq 0$ ,

$$\begin{align} (i\tau)^{\alpha} &= \left((i\operatorname{sign} \tau) \lvert \tau\rvert\right)^\alpha\\ &= \left(e^{\operatorname{sign}\tau\cdot \pi i/2}\lvert \tau\rvert\right)^\alpha\\ &= \exp \left(\operatorname{sign}\tau \frac{\pi i \alpha}{2}\right) \lvert \tau\rvert^\alpha, \end{align}$$

y por lo tanto

$$\operatorname{Re}\: (i\tau)^{\alpha} = \cos \left(\frac{\pi\alpha}{2}\right) \lvert \tau\rvert^\alpha.$$

Por lo tanto, ya que $\lvert e^z\rvert = e^{\operatorname{Re} z}$ ,

$$\left\lvert\exp \left[i\tau t - (i\tau)^{1/2} x - (i\tau)^\theta\right] \right\rvert = \exp \left[-x\sqrt{\lvert\tau\rvert}\cos\frac{\pi}{4} - \lvert\tau\rvert^\theta\cos \frac{\pi\theta}{2}\right].$$

Desde $\frac{1}{2} < \theta < 1$ tenemos $\cos \frac{\pi\theta}{2} > 0$ y $\lvert\tau\rvert^\theta$ crece más rápido que $\lvert\tau\rvert^{1/2}$ Por lo tanto, para $\lvert x\rvert < K$ el integrando está dominado por

$$\exp \left(K \sqrt{\frac{\lvert\tau\rvert}{2}} - c\cdot \lvert\tau\rvert^\theta\right) \leqslant C\exp \left(-\tilde{c}\lvert\tau\rvert^\theta\right)\tag{$ \N - El brindis $}$$

para algunas constantes positivas $C,\tilde{c}$ y $c = \cos \frac{\pi\theta}{2}$ . La función del lado derecho de $(\ast)$ es integrable, y sigue siéndolo cuando se multiplica por potencias positivas arbitrarias de $\lvert\tau\rvert$ por lo que el teorema de convergencia dominante muestra que $F$ es suave, y las derivadas parciales se obtienen diferenciando bajo la integral. Diferenciando bajo la integral también se obtiene la ecuación diferencial, ya que $\frac{\partial}{\partial t}$ aporta un factor de $i\tau$ del exponente, y cada $\frac{\partial}{\partial x}$ un factor de $(i\tau)^{1/2}$ .