Vamos $a_k=\frac1{\binom{n}k}$, $b_k=2^{k-n}$. Calcular $\sum_{k=1}^n\frac{a_k-b_k}k$

Question

Vamos $a_k=\frac1{\binom{n}k}$, $b_k=2^{k-n}$. Calcular $$\sum_{k=1}^n\frac{a_k-b_k}k$$

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Mediante el cálculo de algunas sumas parciales, las respuestas son 0. Parece un argumento inductivo es posible.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k{n \choose k}}} = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{1}{{n-1 \choose k}}} = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\Gamma\left(k+1\right)\Gamma\left(n-k\right)}{\Gamma\left(n\right)} =$$ $$\sum_{k=0}^{n-1}\beta\left(k+1,n-k\right)$$

donde $\Gamma$ es la función gamma y $\beta$ es la función beta.

El uso de la forma integral de la función beta, esta suma es igual a $$\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{1}t^{k}(1-t)^{n-k-1}dt = \int_{0}^{1}\left(\sum_{k=0}^{n-1}t^{k}(1-t)^{n-k-1}\right)dt =$$ $$\int_{0}^{1}\frac{t^{n} - \left(1-t\right)^{n}}{t (1-t)}dt = \frac{1}{2^n}\int_{0}^{1}\frac{\left(s+1\right)^n - \left(1-s\ \ derecho)^n}{s}ds =$$ $$\frac{1}{2^n}\left(\int_{0}^{1}\frac{\left(s+1\right)^n - 1}{s}ds + \int_{0}^{1}\frac{1 - \left(1-s\right)^n}{s}ds\right) =$$ $$\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\int_{0}^{1}\left(1+s\right)^{k}ds + \int_{0}^{1}\left(1-s\right)^{k}ds\right) =$$ $$\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{2^{k+1}-1}{k+1} + \frac{1}{k+1}\right) = \frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{k+1} = \sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k-n}}{k}$$

Lo que demuestra que su suma es cero para cada una de las $n$.

Este argumento está tomado de este papel.

Answer 2

Hay una maquinaria pesada enfoque. En primer lugar, la suma es, obviamente, una hipergeométrica suma, y puede ser alimentado a Mathematica, que usa el formulario W-Z método para producir:

$$ 2^{n} \left(2 n \,_3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{n}{2},1-\frac{n}{2}; \frac{3}{2},\fra c{3}{2};1\right)+2^{n+1} \Phi (2,1,n+1)+i \pi \right), $$ donde $\Phi$ es Lerch Phi. Ahora bien, es sabido que el general de la función hipergeométrica con racional de los parámetros puede ser escrita como una suma de Lerch Phis (que son básicamente polylogarithms). Ver Kelly Roach increíble papel. Tenga en cuenta que Mathematica NO sabe cómo simplificar este caso (a pesar de que se $0$ para valores particulares).