Resolución de un PIV con coeficientes indeterminados

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema de valor inicial utilizando el método de los coeficientes indeterminados, pero sigo obteniendo la respuesta incorrecta. ¿Algún consejo?

$y''-9y=20e^{2t} - 81\quad\quad y(0)=10\quad y'(0)=17$

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Así que empiezo por encontrar $y_c(x)$ :

$m^2 -9 = 0 \implies m=\pm3$ entonces

$y_c(x)=c_1e^{3x}+c_2e^{-3x}$

Para la parte de los coeficientes indeterminados, miro $20e^{2t}-18$ para conseguir $Ae^{2t}$ y luego encontrar $A$ Lo introduzco en la ecuación original para obtener $$4Ae^{2t}-9(Ae^{2t})=20e^{2t}-81$$ Y terminar con $A = 81e^{-2t}/5 -4$

Podría seguir, pero en este punto estoy bastante seguro de que he hecho algo mal. Estoy bastante seguro de que $A$ no se supone que sea tan feo.

Answer 1

Tienes razón hasta el punto de aplicar la estrategia del coeficiente indeterminado. Observa que el lado derecho de tu ecuación diferencial inicial es una combinación lineal de e^(2t) y 1. Una vez que añadas la constante 1 a tus soluciones parciales y luego añadas otro coeficiente indeterminado B, creo que podrás resolver este problema. (Después de esto deberías obtener A = -4 y B = 9).

Answer 2

Para la solución particular intente $y_p = Ae^{2t} + B$ sustituirlo por el DE.

$$ 4Ae^{2t} - 9Ae^{2t} - 9B = 20e^{2t} - 81$$ equiparar los coeficientes $$ -5A = 20 \, , \, 9B = 81$$

$$ A = -4 \, , \, B = 9$$

$$ y(x)=c_1e^{3t}+c_2e^{-3t} -4e^{2t} + 9$$

$$ y(0) = 10 = c_1 + c_2 -4 + 9$$ $$ c_1 + c_2 = 5$$

$$ y'(0) = 17 = 3c_1 -3c_2 -8$$ $$ c_1 - c_2 = \frac{25}{3}$$

$$ c_1 = \frac{20}{3} \, , \, c_2 = \frac{-5}{3}$$

$$ y(x)=\frac{20}{3} e^{3t}- \frac{5}{3}e^{-3t} -4e^{2t} + 9$$