Prueba no constructiva de que $\sum_{j=1}^n j^k$ es un polinomio $p(n)$ de grado $k+1$

Question

Así que se puede demostrar que hay polinomios especiales (olvido su nombre) $p_k$ de grado $k$ que satisfagan $\sum_{j=1}^n p_k(j) = n^{k+1}$ y que estos polinomios son linealmente independientes, de modo que la suma de cualquier polinomio de $j=1$ a $n$ es igual a un polinomio en $n$ de un grado superior. Sin embargo, me preguntaba si hay una forma no constructiva de demostrar esto. Por ejemplo, si integramos $\int_{0}^n x^k dx$ obtenemos $n^{k+1}/(k+1)$ por lo que sabemos que asintóticamente la suma crece como un polinomio. ¿Hay alguna manera de convertir esto en una prueba, por ejemplo, suponer que hay una función entera que tiene la tasa de crecimiento asintótica y toma los valores prescritos y luego mostrar que la función entera debe ser un polinomio?

Answer 1

Dejemos que $$S(n,k)=\sum_{j=1}^{n}j^{k}.$$ A continuación, observe que $\frac{1}{k!}S(n,k)$ es el coeficiente de $x^{k}$ en la expansión de la serie de potencias en torno a $x=0$ de $$e^{x}+e^{2x}+e^{3x}+\cdots+e^{nx}.$$ Es decir $$\frac{e^{(n+1)x}-1}{e^{x}-1}=\sum_{k\geq0}\frac{S(n,k)}{k!}x^{k}.$$ Utilizando esta expansión, podemos definir una función una función $S(t,k)$ para $t\in\mathbb{R}$ y demostraremos que $S(t,k)$ es un polinomio de grado $k+1$ . Veamos la función $$f_t(x)=e^{x(t+1)}/(e^{x}-1).$$ El $j^{th}$ derivada con respecto a $t$ es igual a $$\frac{d^j}{dt^j} f_t(x)=\frac{x^je^{x(t+1)}}{e^x-1}.$$ Para los fijos $t$ , ya que $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{r}e^{x(t+1)}}{e^{x}-1}=\begin{cases} 1 & \text{if}\ r=1\\ 0 & \text{if}\ r>1 \end{cases}$$ vemos que expandiendo esto como una serie de potencias en $x$ alrededor de $0$ los coeficientes de $1,x,\dots,x^{j-2}$ serán todos iguales $0$ y el coeficiente de $x^{j-1}$ será distinto de cero. Por lo tanto, cambiando el orden de la diferenciación y la suma, resulta que $$\frac{d^{k+2}}{dt^{k+2}}S(t,k)= 0$$ y $$\frac{d^{k+1}}{dt^{k+1}}S(t,k)= 1.$$ Por lo tanto, concluimos que $S(n,k)$ es un polinomio de grado $k+1$ .

Answer 2

Considere la función $f_k(n)=\sum_{j=1}^n j^k$ . Sea $\Delta$ sea el operador de diferencia, por lo que para una función $f$ tenemos $(\Delta f) (n) = f(n+1)-f(n)$ . Observe que $(\Delta f_k)(n) = (n+1)^k$ un polinomio de orden $k$ en $n$ . Ahora $(\Delta^2 f_k)(n) = (n+2)^k -(n+1)^k$ y los términos más altos en $n$ se cancelan, por lo que se trata de un polinomio de orden $k-1$ en $n$ . Cada vez que aplicamos $\Delta$ disminuimos el grado en uno, por lo que $\Delta^{k+2} f_k = 0$ (y de hecho $\Delta^{k+1} f_k \neq 0$ ).

Ahora afirmo que cualquier función de $n$ asesinada por $\Delta^r$ pero no $\Delta^{r-1}$ es un polinomio de grado $r-1$ (esto es claro para $r=1$ ). La prueba es por inducción: supongamos $\Delta^r f \neq 0 = \Delta^{r+1}f$ para que $\Delta^r f = C$ , una constante. Obsérvese que $\Delta^m n^m = m!$ . Sea $g(n) = f(n)-Cn^r/r!$ . Tenemos $\Delta^r g = 0$ y, por tanto, por inducción $g$ es un polinomio de grado $r-1$ y por lo tanto $f$ es un polinomio de grado $r$ .

Este es el análogo discreto del teorema de que si el $r$ de una función es la función cero, entonces esa función es un polinomio de grado máximo $r-1$ .

Answer 3

Dejemos que $V = \mathbf{Q}[x]$ y que $V_r$ sea el subespacio de polinomios de grado $\leq r$ .

Definir un mapeo $\Delta \colon V \to V$ por $\Delta(p)(x) = p(x) - p(x-1)$ . Entonces:

1. Está claro que $\Delta$ es un mapeo lineal.

2. $\Delta(V_r) \subseteq V_{r-1}$ .
   Prueba . Sea $p(x)$ tener un título $s \leq r$ . Entonces $p(x)$ y $p(x-1)$ tienen el mismo término principal, de grado $s$ . Por lo tanto, $\Delta(p)$ tiene grado $\leq s - 1 \leq r - 1$ .

3. $\ker \Delta$ consiste en los polinomios constantes, por lo que su dimensión es $1$ .
   Prueba . Sea $p \in \ker \Delta$ . Entonces, por inducción, $p(a)$ tiene el mismo valor $k$ para todos los números naturales $a$ . El polinomio $p(x) - k$ tiene infinitas raíces, por lo tanto es cero. Por lo tanto $p$ es constante. Lo contrario es obvio.

Ahora considere $\Delta$ como un mapeo lineal desde $V_{k+1}$ a $V_k$ (por los puntos 1 y 2). Su núcleo tiene dimensión $1$ por el punto 3. Comparando las dimensiones, vemos que debemos tener $\Delta(V_{k+1}) = V_k$ . Por lo tanto, hay algún polinomio $p$ de grado como máximo $k + 1$ para lo cual $\Delta(p) = x^k$ . Además, aplicando el punto 2 para $r = k$ vemos que $p$ debe tener el grado exactamente $k + 1$ .

Así, tenemos $$\sum_{j = 1}^n j^k = \sum_{j = 1}^n [P(j) - P(j-1)] = P(n) - P(0),$$ completando la prueba.