Langlands local para $GL(2,\mathbf{C})$ y series principales reducibles

Question

Mi ingenua imagen de la correspondencia local de Langlands para $GL(2,\mathbf{C})$ es esta. El grupo Weil de $\mathbf{C}$ es canónicamente $\mathbf{C}^\times$ . En el lado de Galois, entonces, estamos viendo representaciones semidimensionales de $\mathbf{C}^\times$ , es decir, pares de homomorfismos de grupo continuos $(\chi_1,\chi_2)$ con $\chi_i:\mathbf{C}^\times\to\mathbf{C}^\times$ , modulo $(\chi_1,\chi_2)\sim(\chi_2,\chi_1)$ .

En cuanto a la teoría de la representación, estamos buscando representaciones complejas admisibles irreducibles de $GL(2,\mathbf{C})$ y es un hecho estándar que podemos construirlos todos a partir de series principales (en el sentido descrito a continuación). Dado un par $(\chi_1,\chi_2)$ como arriba podemos construir una representación unidimensional de las matrices triangulares superiores en $GL(2,\mathbf{C})$ y luego inducir hacia arriba (inducción normalizada) para obtener una representación en serie principal $I(\chi_1,\chi_2)$ de $GL(2,\mathbf{C})$ .

Si todas las representaciones de la serie principal fueran irreducibles, y $I(\chi_1,\chi_2)\cong I(\chi_2,\chi_1)$ la vida sería genial: coincidimos $\chi_1\oplus\chi_2$ con $I(\chi_1,\chi_2)$ y ahí está la correspondencia.

Pero no creo que la vida sea tan fácil, porque hay algunas series principales reducibles. Ahora el truco estándar parece ser que se ordenan las $\chi_i$ por la tasa de crecimiento del valor absoluto y luego mostrar $I(\chi_1,\chi_2)$ tiene un único cociente irreducible $J(\chi_1,\chi_2)$ y coincidir con $\chi_1\oplus\chi_2$ con $J(\chi_1,\chi_2)$ . Creo que esto es lo que se supone que es la correpondencia local de Langlands.

No lo entiendo. Si $I(\chi_1,\chi_2)$ tiene, digamos, dos factores de Jordan-Hoelder (uno de dimensión finita, digamos) entonces obtenemos dos representaciones de $GL(2,\mathbf{C})$ "adjunto" a $(\chi_1,\chi_2)$ y probablemente no van a ser isomorfas, así que más vale que correspondan a dos representaciones diferentes del grupo de Weil. Pero todo lo que tenemos es $\chi_1$ y $\chi_2$ y no pueden corresponder ambos a $\chi_1\oplus\chi_2$ . Es la idea de que cuando esto sucede, uno de ellos es $I(\chi_3,\chi_4)$ para algún par de personajes diferentes? Es de suponer que esto es fácil de ver en el lado de la teoría de la representación, pero no puedo detectar el entrelazamiento. ¿He entendido mal la imagen?

Answer 1

Este es un punto común de confusión, y el OP está en el camino correcto.

Una buena referencia para la teoría de la representación es el capítulo 1, sección 6, del libro de Jacquet-Langlands "Automorphic forms on GL(2)", especialmente el teorema 6.2 (que tiene una pequeña errata en su enunciado). Está disponible gratuitamente en línea, en la página de Langlands en el IAS. Gracias al IAS por poner en línea tantas publicaciones recientemente.

Así es como se hace, empezando por tus personajes $\chi_1$ y $\chi_2$ : Dejemos que $\chi = \chi_1 \chi_2^{-1}$ sea el carácter resultante de $C^\times$ . La serie principal normalizada $I(\chi_1, \chi_2)$ es irreducible a menos que $\chi$ tiene la forma $z \mapsto z^p \bar z^q$ con $p,q$ ambos enteros positivos o ambos enteros negativos.

Descomponiendo con respecto al subgrupo compacto $SU(2)$ da lugar a una serie de irreps de $SU(2)$ con multiplicidad $1$ . Esta es realmente la clave para ver lo que está pasando, IMHO.

En el caso de $p,q$ positivo, $I(\chi_1, \chi_2)$ tiene un cociente de dimensión finita, de dimensión $$d = \# \{ n : n < p+q, n = p+q \text{ mod } 2 \}.$$

En el caso de $p,q$ negativo, $I(\chi_1, \chi_2)$ tiene una sub dimensión finita, de dimensión $$d = \# \{ n : \vert p-q \vert \leq n \leq p+q, n = p+q \text{ mod } 2 \}.$$

Cuando $I(\chi_1, \chi_2)$ es reducible, Langlands define $\pi(\chi_1, \chi_2)$ para ser la (clase de equivalencia del) constituyente de Jordan-Holder de dimensión finita de $I(\chi_1, \chi_2)$ . Cuando $I(\chi_1, \chi_2)$ es irreducible, $\pi(\chi_1, \chi_2)$ se define como la clase de equivalencia de $I(\chi_1, \chi_2)$ . Esto da la correspondencia local de Langlands.

Lo que resulta tan confuso es lo siguiente: ¿qué pasó con esos constituyentes perfectamente agradables de dimensión infinita del reducible $I(\chi_1, \chi_2)$ ? Como sospecha el OP, son equivalentes a las representaciones irreducibles $I(\chi_3, \chi_4)$ para otro par de personajes. Esto se explica en el Teorema 6.2, (vi), del libro de Jacquet-Langlands.

Recuerda que el reducible $I(\chi_1, \chi_2)$ corresponden a $p,q$ enteros del mismo signo. Pues bien, el Teorema 6.2 (vi) citado anteriormente garantiza que existen caracteres $\chi_3, \chi_4$ tal que:

1. $\chi_3 \chi_4^{-1} (z) = z^p \bar z^{-q}$ Así que, en particular $I(\chi_3, \chi_4)$ es irreducible.

2. $\chi_3 \chi_4 = \chi_1 \chi_2$ , por lo que los personajes centrales coinciden.

3. El trozo de dimensión infinita de $I(\chi_1, \chi_2)$ coincide con la irrep $I(\chi_3, \chi_4)$ .

Langlands demuestra esta coincidencia utilizando un resultado de Harish-Chandra. Básicamente, se comprueba que el carácter infinitesimal de $I(\chi_1, \chi_2)$ coincide con la de $I(\chi_3, \chi_4)$ entonces si hay constituyentes con un solo $SU(2)$ -en común, los constituyentes son isomorfos.

El operador de entrelazamiento no es tan fácil de detectar, quizá se llame operador de entrelazamiento de Knapp-Stein en este entorno (¿por su artículo conjunto en el PNAS?). No conozco la historia completa ni la terminología común en el entorno arquimédico. La idea es tomar funciones $f$ en una serie principal $I(\chi_1, \chi_2)$ y mira la función $F(x) = \int_{\bar U} f(\bar u x) d \bar u$ , donde $\bar U$ es el radical unipotente opuesto. Esto da una familia (como $\chi_1, \chi_2$ variar) de los entrelazados a una serie principal para la parabólica opuesta, que puede conjugarse de nuevo a series principales para el subgrupo parabólico original. La convergencia es un problema, pero la cuestión es que los entrelazamientos acaban con las subrepresentaciones de dimensión finita en los puntos de reducibilidad. Rastreando los caracteres modulares, los elementos de Weyl, etc., uno podría (y otros lo han hecho, estoy seguro) obtener el Teorema 6.2 (vi) anterior.