Dejemos que $G=SO(n,R)$ sea un grupo de Lie y $\mathbb{g}$ su álgebra de mentira. Tomemos $X\in \mathbb{g}$ .
Entonces, ¿por qué la órbita coadyuvante pasa por $X$ determinado por el espectro de $X$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que por espectro de $X$ ¿quieres decir que son valores propios? Además, hablas de órbita coadjunta pero $X \in \mathfrak g$ . Esto no es realmente un problema ya que $G$ tiene un $Ad$ -producto interno invariante para que la identificación inducida de $\mathfrak g \simeq \mathfrak g^*$ preserva la acción adjunta.
En cualquier caso, cualquier órbita adyacente de un grupo semisimple pasa por cualquier toro maximal. Elijamos el toro máximo habitual de $\mathfrak{so(n)}$ compuesto por el bloque $2\times 2$ matrices asimétricas. Los valores propios de dicha matriz son los valores propios de los bloques. Como el grupo de Weyl actúa permutando estos bloques, los elementos con los mismos valores propios están en la misma órbita adyacente.
