En realidad, creo que intentar un "problema difícil" puede ser una buena idea SI
1) Tienes una prueba justa de que eres lo suficientemente fuerte como para abordar cosas que otras personas inteligentes abandonaron. Las pruebas deben ser tangibles. La mejor prueba es, por supuesto, haber resuelto ya al menos un problema difícil, pero eso, obviamente, no puede aplicarse a tu primer problema difícil. A veces un buen indicio es que otras personas digan algo como "¡Deberías dejar de robar el pan de cada día a otros matemáticos y hacer alguna cosa real que nadie más pueda hacer!" (Tenga en cuenta que no debería seguir la primera parte de este consejo).
2) Tienes una estrategia de escape. Eso puede ser pensar en otra cosa en paralelo, asegurarse de que su plan es tal que incluso un progreso parcial puede ser de valor, etc.
3) No tienes miedo a fracasar y estás acostumbrado a la sensación de ser un idiota sin remedio (lo que significa que puedes admitir tranquilamente este hecho frustrante sobre ti mismo sin ninguna reserva, excusa u otro tipo de autoengaño y seguir adelante con todas tus fuerzas).
4) Tienes suficiente tiempo libre y no te importan demasiado los altibajos de tu carrera.
5) Tienes la mente suficientemente abierta como para ver las cosas desde ángulos inusuales y estás capacitado para averiguar con razonable rapidez si una idea determinada puede funcionar o no. Tenga en cuenta que ambas son habilidades difíciles, que casi no se tocan en la mayoría de los tratados estándar sobre la resolución de problemas.
6) Te encanta el problema. Esto debería ser, en realidad, #0 en lugar de #6, y es difícil explicar lo que significa en términos racionales, pero puedes sentirlo cuando sucede.
Si esas condiciones se cumplen, sigue adelante e intenta fotografiar la Luna. Si no es así, será mejor que subas poco a poco, como la mayoría de nosotros, eligiendo cada vez la pelea un poco más grande que tu propio tamaño.
No soy muy partidario de "tener una idea nueva desde el principio". La nueva idea o una combinación de ideas suele llegar con el tiempo al trabajar en el problema y el momento en que llega suele estar muy cerca del final de la historia. El rastro de fracasos que lo precede está bien escondido, pero todos empezamos con "no tengo método, ni sentimiento, ni herramientas, ni pista, ni esperanza" y procedemos a "retorcer esto, podemos conseguir un poco más o algo un poco diferente, sin embargo la dificultad principal sigue sin tocarse". Hay que averiguar no sólo lo que no funciona, sino también cómo no funciona exactamente. La mayor parte del tiempo se dedica a construir ejemplos y contraejemplos de los pasos de tu plan inicial, a divagar en modelos más sencillos, a comprobar que no se pierde información en cada paso concreto, es decir, que si el teorema original es correcto, entonces el lema intermedio que quieres probar es al menos muy plausible, y así sucesivamente. No sé cómo funciona para otros, pero para mí cualquier problema no trivial es un rompecabezas disperso, no una imagen originalmente borrosa pero completa a la que sólo tengo que enfocar la cámara.
No estoy seguro de cuánta credibilidad puedo reclamar yo mismo cuando hablo así de resolver duro problemas, pero, afortunadamente, la mayoría de estas afirmaciones no son creaciones mías: Simplemente creo que son verdaderas y que las contrarias son falsas. Así pues, tómese todo esto con un saludable grano de sal y tenga en cuenta que de 100 matemáticos, como mucho 5 están capacitados para disparar a la Luna en principio y, de esos 5, como mucho 1 acertará al hacer este largo disparo, así que no nos juzgue a los profesores con demasiada dureza cuando simplemente conocemos nuestras limitaciones y no estamos dispuestos a intentar saltar por encima de nuestras posibilidades. Hay muchas cosas a nivel de las rodillas que hay que hacer y algunos de nosotros (incluido yo mismo) simplemente pensamos que será más eficiente pasar la mayor parte de nuestro tiempo haciéndolo allí. Uno se convierte en un perdedor no cuando apunta y dispara más bajo que la Luna, sino cuando deja de verla en el cielo :).
En cuanto a la lista de preguntas formales, respondería lo siguiente:
¿Hay que atacar problemas tan difíciles?
Sí. Los dioses no lo harán por nosotros, así que tendrá que ser uno de nosotros, pobres mortales, quien lo intente.
Si hay que hacerlo, ¿por qué y cuándo? Ver #1-#6 para el "cuándo". En cuanto al "por qué", si uno se hace esta pregunta, no debería.
¿El estudio de los problemas más difíciles hará que surjan nuevas ideas?
Posiblemente. Puede funcionar de cualquier manera.
¿Es incluso necesario entender algunos problemas difíciles y, sobre todo, por qué son difíciles de resolver?
No, nada es absolutamente necesario. Se puede vivir y trabajar perfectamente sin ello.
¿O es simplemente una pérdida de tiempo?
Esto depende de quién y qué sea usted.
¿O es que hay que aprender algunos problemas difíciles para educarse, pero no hay que dedicar tiempo a atacarlos?
Eso también funciona para algunas personas.
