Recuento de soluciones de congruencia de formas cuadráticas sobre $\Bbb Z / 8 \Bbb Z$

Question

Dejemos que $(L,q)$ sea un entramado lorentziano par de firma $(1,l-1)$ es decir, $q(\lambda) \in \Bbb Z$ para todos $\lambda \in L$ y la forma cuadrática (no degenerada) $q$ es del tipo $(1,l-1)$ (el tipo/firma no debería importar aquí, creo...). Me interesa contar el número de soluciones $x \in L/8L$ modulo $a \in (\Bbb Z / 8 \Bbb Z)^*$ es decir, qué es $$N(a) := \# \{ x \in L/8L : q(x) \equiv a \pmod 8 \}$$

Podríamos reescribir esto como $N(a) = \# \{ x \in \Bbb Z / 8 \Bbb Z : q(x) \equiv a \pmod 8 \}$ de nuevo usando $q(x)$ para la forma cuadrática $\frac 1 2 x^t S x$ , $S$ la matriz de Gram, para los vectores $x \in \Bbb Z / 8 \Bbb Z$ .

Un límite trivial sería $8^l$ asumiendo que todos los vectores son soluciones. Se puede comprobar que todos los incluso los vectores no son soluciones, es decir, los vectores $x$ para el que existe un vector $x' \in (\Bbb Z / 8 \Bbb Z)^l$ tal que $x = 2 x'$ . Porque entonces $q(x) = 4 q(x') \in \{0,4\}$ pero asumimos que $a \in (\Bbb Z / 8 \Bbb Z)^*$ así que $x$ no puede ser una solución. Esto da un límite ligeramente mejor de $8^l - 4^l$ . Pero yo esperaba un enlace como $4 \cdot 8^{l-1} = 8^l /2$ es decir, que sólo a lo sumo medio de los vectores son soluciones. Mi intuición me dice que esto debería ser posible, suponiendo que $a$ es una unidad.

Answer 1

Lo resolví de la siguiente manera. También puse esta solución en mi tesis, así que debe ser correcta :) Empiezo por enunciar un lema de la teoría de $p$ -clasificación de las formas cuadráticas.

$\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ Lema: Toda red integral es $p$ -adicalmente equivalente a una red con matriz de Gram diagonal, si $p \neq 2$ . Para $p=2$ hay un $2$ -a una red cuya matriz de Gram tiene $1 \times 1$ -bloques de la forma $(2^{l}\varepsilon)$ , $l \geq 0$ , $\varepsilon$ una unidad en $\ZZ/ 8\ZZ$ o $2 \times 2$ -bloques de la forma $$ 2^{l} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{or}\quad 2^{l} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\, l \geq 0 %\label{eqn:2-adicMatrices} \tag{M} $$ en su diagonal. Obtenemos el (finito) $p$ -Descomposición ortogonal adica $$ L \sim_{p} p^{0} L_{0} \perp p^{1} L_{1} \perp \ldots % \tag{2} $$ en celosías $L_{i}$ con formas cuadráticas cuyos determinantes de Gram no son divisibles por $p$ .

Para referencias, véase [Co-Cl] (Thm. 2, p. 369), [Cas08] (Lem. 4.1, p. 117) y [Kit93] (pp. 76)

Prueba de la afirmación de la pregunta: Utilizamos la teoría de $p$ -de la clasificación de los ádicos del lema anterior para $p=2$ . Sea $$ L \sim_{2} 2^{0} L_{0} \perp 2^{1} L_{1} \perp \ldots $$ sea el $2$ -descomposición de $L$ . Si $L_{0}$ es $0$ entonces la congruencia \begin{equation} \tag{C} q(x) \equiv a \pmod 8 \end{equation} en $\ZZ_{2} / 2^{3} \ZZ_{2} = \ZZ/ 2^{3} \ZZ$ no tiene soluciones como $q$ sólo tomaría valores pares, pero $a \in (\ZZ / 8 ZZ)^{*}$ . Así que supongamos $L_{0}$ no es trivial. Si su matriz de Gram contiene un $1 \times 1$ bloque $(b)$ , $b \in (\ZZ/ 8\ZZ)^{*}$ en su diagonal, que sea la primera entrada en la diagonal. Fijando la última $l-1$ coordenadas de un vector $x \in (\ZZ/ 8\ZZ)^{l}$ la congruencia (C) se convierte en la congruencia cuadrática (después de multiplicar por $b^{-1}$ ) $$ x_{1} \equiv c \pmod 8 $$ para alguna constante desconocida $c(=b^{-1}(a-q((0,x_{2},\ldots,x_{l})))$ . En el peor de los casos que $c=1$ esta congruencia tiene las cuatro unidades de $\ZZ/ 8\ZZ$ como soluciones. De este modo se obtendría el límite superior $8^{l-1}\cdot 4 = 8^{l}/2$ como se indica en la pregunta.

En los otros dos casos, que la matriz Gram de $L_{0}$ sólo contiene las matrices (M) en su diagonal, hay aún menos soluciones. Esto se puede demostrar con algunos cálculos tediosos por casos. Fijar la última $l-2$ coordenadas de $x \in (\ZZ/ 8\ZZ)^{l}$ . La congruencia se convierte ahora en uno de los dos casos $$\begin{eqnarray} 2 x_{1} x_{2} & \equiv & c \pmod 8, \tag{M1} \\ 2 ({x_{1}}^{2} + x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2}) & \equiv & c \pmod 8 \tag{M2} \end{eqnarray}$$ de nuevo para alguna constante desconocida $c$ . En lugar de hacer los tediosos cálculos, también se puede simplemente emitir el script

for M in [[0,1,0],[1,1,1]]:
     H = QuadraticForm(ZZ,2,M)
     for c in range(8):
         H.count_congruence_solutions(2,3,c,None,None)

en Sage (por ejemplo, ir a sagenb.org si no tiene una instalación local), para encontrar que la congruencia (M1) tiene como máximo $20 < 8^{2}/2$ soluciones y la segunda congruencia (M2) tiene como máximo $12 < 8^{2}/2$ soluciones.

Referencias:

• [Co-Cl] John Conway, Neil J. A. Sloane. Embalajes de Esferas, Entramados y Grupos.
• [Cas08] J.W.S. Cassels. Formas cuadráticas racionales.
• [Kit93] Yoshiyuki Kitaoka. Aritmética de las formas cuadráticas.