Puede encontrar respuestas a estas dos preguntas en el libro de Hartshorne Geometría algebraica .
Su primera pregunta es la Proposición II.5.8(c). Como esbozo de la prueba, ya que $X$ es noetheriano, puede ser cubierto por un número finito de conjuntos abiertos afines $U_i$ y cada intersección $U_i\cap U_j$ también puede ser cubierto por un número finito de conjuntos abiertos afines $U_{ijk}$ . Ahora, el pushforward de $\mathcal{F}$ restringido a cualquier $U_i$ o $U_{ijk}$ es cuasicoherente. Pero el empuje de $\mathcal{F}$ es sólo el núcleo de un cierto morfismo entre productos de estas restricciones, por el axioma de encolado de gavillas (una sección de $f_*\mathcal{F}$ en $U$ es lo mismo que las secciones sobre $U\cap U_i$ para cada $i$ de manera que las restricciones a la $U_{ijk}$ están de acuerdo). Dado que el núcleo de un morfismo de láminas cuasicoherentes es cuasicoherente, esto implica $f_*\mathcal{F}$ es cuasicoherente. (La hipótesis noetheriana se utiliza para garantizar que los productos de las láminas restringidas son finitos, ya que un producto infinito de láminas cuasicoherentes puede no ser cuasicoherente).
Tu segunda pregunta se desprende del hecho de que la cohomología de las láminas puede definirse como funtores derivados del functor de secciones globales sobre la categoría de láminas de grupos abelianos sobre el espacio. La categoría de gavillas de grupos abelianos sólo depende de la estructura topológica (no de la estructura del espacio anillado), por lo que esta definición se conserva obviamente mediante homeomorfismos. La equivalencia de la cohomología definida para gavillas de grupos abelianos y la cohomología definida para gavillas de $O_X$ -es la Proposición III.2.6 de Hartshorne. Como esbozo de la prueba, se puede mostrar que las gavillas flásicas son acíclicas en ambas categorías, y así se puede calcular la cohomología de un $O_X$ -en cualquiera de las dos categorías tomando una resolución por flasque $O_X$ -módulos.
