Como probablemente sepas, el grupo de Lie de las transformaciones físicas de un sistema cuántico actúa sobre el espacio de Hilbert de los estados del sistema mediante una representación unitaria (fuertemente proyectiva) del grupo. $G \ni g \mapsto U_g$ . Esta acción es efectiva también en los observables del sistema, representados por operadores autoadjuntos: La acción de $g$ en los observables $A$ es $U_gAU^*_g$ . Este último representa el observable $A$ tras la acción de la transformación $g$ en el sistema físico. Esta transformación tiene una doble interpretación. Podemos imaginar que actúa sobre el sistema o sobre el marco de referencia, nuestra elección no importa en esta discusión.
Centrémonos ahora en la física. Hay sistemas elementales naturales, llamados partículas elementales . Estos sistemas están completamente determinados por la fijación de algunos números reales correspondientes a los valores de algunos observables. En la versión más elemental de la historia, estos números son la masa $m$ que puede alcanzar algunos números positivos observados y registrados experimentalmente, y el giro $s$ que puede alcanzar cualquier número en $\{1/2, 1, 3/2,...\}$ . Diferentes valores del par $(m,s)$ significan partículas diferentes.
Estos números tienen la propiedad de que son invariantes bajo la acción del grupo de simetría más general Me refiero a la (correcta ortocronía) Grupo de Poincaré . Un tipo de partícula tiene los mismos números fijos $m$ y $s$ independientemente del marco de referencia que utilicemos para describirlo y los distintos marcos de referencia están conectados por la transformación del grupo de Poincaré.
Pasando a la descripción cuántica teórica de una partícula elemental, a la vista de mi comentario inicial, nos comprometemos a suponer que su espacio de Hilbert soporta una representación del grupo de Poincaré ${\cal P} \ni g \mapsto U_g$ (Omito los detalles técnicos). Además debe haber observables que representen la masa $M$ y el giro $S$ que, por un lado deben ser invariantes bajo la acción del grupo, es decir $U_gM U_g^* =M$ y $U_gS U_g^* =S$ por cada $g \in \cal P$ . Por otro lado, deben asumir valores fijos $M=mI$ y $S=sI$ .
Wigner observó que una condición suficiente para asegurar la validez de estas restricciones es que ${\cal P} \ni g \mapsto U_g$ es irreducible .
Sí, es cierto, $M$ y $S$ puede definirse utilizando los generadores autoadjuntos de la representación, ya que son elementos del álgebra envolvente universal de la representación del álgebra de Lie de $\cal P$ inducido por el de $\cal P$ en sí mismo. Como era de esperar, se encuentra $U_gM U_g^* =M$ y $U_gS U_g^* =S$ por cada $g \in \cal P$ . Pero, si $U$ también es irreducible, reescribiendo las identidades anteriores como $U_gM =M U_g$ y $U_gS =S U_g$ por cada $g \in \cal P$ , El lema de Schur implica que $M=mI$ y $S=sI$ para algunos números reales $s,m$ .
Para corroborar la idea de Wigner resulta que las dos constantes $m$ y $s$ son realmente suficientes para clasificar bijetivamente todas las posibles representaciones unitarias irreducibles fuertemente continuas de $\cal P$ con "energía positiva" (la única relevante en física) .
La teoría matemática de las representaciones de ${\cal P}$ fija de forma autónoma los posibles valores de $s$ y que coinciden con los observados. Los valores de $m$ no están fijados por la teoría de las representaciones donde cualquier valor $m\geq 0$ sería posible en principio, aunque no todos $m \geq 0$ corresponden a las masas de las partículas elementales observadas.
Si se tienen muchas partículas elementales, el espacio de Hilbert del sistema es el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las partículas elementales y hay una representación unitaria correspondiente del grupo de Poincaré dada por el producto tensorial de las representaciones simples irreducibles. Obviamente, la representación unitaria no es irreducible.
ADDENDUM . Quisiera precisar que las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré de las que hablé anteriormente son las fiel aquellos cuya masa al cuadrado es no negativo. Además, existe otro parámetro que clasifica las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré. Es un signo que corresponde al signo de la energía. Por último, no todas las partículas encajan en la imagen de Wigner.
