Bueno, aquí está, pasé casi 3 horas en este caso. Encuentra la forma general de los números naturales que son el doble de un cuadrado, el triple de un cubo y 5 veces una potencia de 5. ¿Quién es el más pequeño de ellos? $n=2 a^2$ , $n=3 b^3$ , $n=5 c^5$ donde $a,b,c$ números naturales. Mi progreso hasta ahora es que tomé la forma canónica para un supuesto $N$ también dijo que $2, 3, 5$ debe estar en la factorización del primo y también utilizó un lema donde dice que para un número $A$ para ser un $n$ -ésima potencia de un número, todas las potencias de su factorización primaria deben ser divisibles por esa potencia.Así que lo que tengo es $n$ para ser $n=2^{z_1} \cdot 3^{z_2} \cdot 5^{z_5} \cdot \dotsb \cdot p_k^{z_i}$ .... donde $z_1>=15$ y $z_1-1$ es incluso $z_2>=10$ y $z_2=3k+1$ , $z_3>=6$ y $z_3=5l+1$ y el resto $z_i$ debe ser de la forma $30 h_i$ Eso es todo, estoy un poco perdido y no sé cómo continuar y arrinconarlo para que me salga un completo para y no uno tan general.Ayuda por favor.(el $z_i$ son las potencias de los números primos en la factorización primaria)
Respuesta
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El número más pequeño es claramente de la forma $2^a3^b5^c$ y una vez que se calculan los valores de $a,b,c$ ese trabajo entonces cualquier número $n$ como una solución mínima, tendrá esa $n m^{30}$ es también una solución para cualquier $m \geq 1$ . Esto caracteriza todas las soluciones por el teorema del resto chino.
Para averiguar la menor potencia válida de $2$ , tenga en cuenta que la potencia $a$ debe ser impar porque su número es $2$ veces un cuadrado. Además $a$ debe ser divisible por $3$ y $5$ . Así que $a$ es un número impar divisible por $15$ . Así que el más pequeño posible $a$ es $15$ . Del mismo modo, se pueden calcular las condiciones de $b$ y descubrir que $b = 10$ y que $c = 6$ . Así, el conjunto de todas las soluciones es $2^{15}3^{10}5^6 m^{30}$ para cualquier $m \geq 1$ y la solución más pequeña es cuando $m = 1$ .
