¿Qué tipo de matrices conducen a $\pm$ ¿valores propios?

Question

Tengo un código que escupe matrices de la forma

$$\left(\matrix{0&a&-a\\a&+\gamma&0\\-a&0&-\gamma}\right)$$

Tiene rastros $0$ y por tanto sus valores propios son de la forma $0,\pm\lambda$ para que sumen $0$ .

Este patrón parece mantenerse para matrices más grandes, donde obtenemos valores propios de la forma $\{\pm\lambda_1,\pm\lambda_2,\dots\}$ con un adicional $0$ si tiene dimensiones impar

Por ejemplo, el $8\times8$ matriz

O para un tamaño de $8\times8$ tenemos

$$\left(\matrix{0&0&0&0&0&0&a&0\\0&0&-a&0&0&0&0&0\\0&-a&0&a&0&0&0&0\\0&0&a&0&0&-a&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&-a&0&0&0&0\\a&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0}\right)$$

da valores propios $\lambda={\pm a,\pm\frac 1 2 a \left(1-\sqrt 5\right),\pm\frac 1 2 a \left(1+\sqrt 5\right),0,0}$

O para un tamaño alternativo de $8\times8$ tenemos

$$\left(\matrix{0&a&-a&a&b&-a&0&-b\\a&c&0&b&d&0&0&0\\-a&0&-c&0&e&-b&-e&-d\\a&b&0&c&d&0&e&-e\\b&d&e&d&g&0&0&0\\-a&0&b&0&0&-c&0&-d\\0&0&-e&e&0&0&0&0\\-b&0&-d&-e&0&-d&0&-g}\right)$$

Edición: Para simplificar el $8\times 8$ podría reducirse a la forma

$$\left(\matrix{c&0&b&d&0&0\\0&-c&0&e&-b&-d\\b&0&c&d&0&-e\\d&e&d&g&0&0\\0&b&0&0&-c&-d\\0&-d&-e&0&-d&-g}\right)$$

y seguimos obteniendo valores propios de la forma mencionada. Por ejemplo viendo las variables a enteros iterables.

¿Cuál es la forma general de estas matrices y por qué se repite $\pm$ ¿Patrón?

¿Es que cualquier matriz simétrica con traza $0$ ¿dará valores propios de esta forma? (No, se ha probado generando uno al azar y no se cumple)

Answer 1

La condición para una matriz $A$ tener $-\lambda$ como valor propio siempre que $\lambda$ es un eienvalor (y con la misma multiplicidad) es que su polinomio característico debe ser una función par o impar, es decir, o todos los coeficientes no nulos son Impares o todos los coeficientes no nulos son pares.

Una condición más "geométrica" es que $M$ es similar a $-M$ . Así, en tu primer ejemplo, si cambias la segunda y tercera filas y la segunda y tercera columnas, es decir, conjugas con $\pmatrix{1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 1\cr 0 & 1 & 0\cr}$ , se transforma $M$ a $-M$ . Sin embargo, tus otros ejemplos no parecen funcionar con una matriz de permutación.

EDIT: Omnomnom's $6 \times 6$ ejemplo funciona con la conjugación por la matriz antidiagonal $$ \left[ \begin {array}{cccccc} 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0 &1&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0&0&0\\ -1&0&0&0&0&0 \end {array} \right] $$