Residuo de $f(z)=\frac{1}{z^2\,\sin(\pi z)}$ en $z=0$

Question

Quiero calcular el residuo de la siguiente función sin utilizar el desarrollo en serie de Laurent.

$$f(z)=\frac{1}{z^2\,\sin(\pi z)}$$

$z=0$ es un polo triple

$$\mathrm{Res}[f,0]=\lim_{z->0}\frac{1}{3!}\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}\left [ \frac{1}{z^2\,\sin(\pi z)} z^3\right ]$$

Normalmente en estos casos desarrollé antes de hacer el límite la función trigonométrica. Hasta ahora sólo había considerado los polos simples en estos casos y siempre tomaba el primer término del desarrollo. en $z=0$ $$\sin(\pi z)=\pi t-\frac{\pi^3t^3}{6}+o(t^4)$$

Si sustituyo sólo el primer término el resultado es $0$ y si reemplazo el segundo el resultado es correcto $\frac{\pi}{6}$ . $$\mathrm{Res}[f,0]=\lim_{z->0}\frac{1}{3!}\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}\left [ \frac{1}{z^2\,\pi z-\frac{\pi^3z^3}{6}} z^3\right ]= \frac{\pi}{6}$$

$$\mathrm{Res}[f,0]=\lim_{z->0}\frac{1}{3!}\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}\left [ \frac{1}{z^2\,\pi z} z^3\right ]= 0$$

¿por qué los dos límites son diferentes?

¿Cuál es la norma? Tengo que reemplazar hasta el orden del polo o superior. Teniendo en cuenta los polos simples estaba bien siempre reemplazar el primero, es por eso que hago esta suposición.

Alguien puede ayudarme.

Muchas gracias.

Answer 1

Su fórmula no es cierta : $$\mathrm{Res}[f,0]=\lim_{z->0}\frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}\left [ \frac{1}{z^2\,\sin(\pi z)} z^3\right ]$$

Así que..: $$\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}\left [ \frac{1}{z^2\,\sin(\pi z)} z^3\right ]=\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}\frac{z}{\sin(\pi z)}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z}\frac{\sin(\pi z)-z^2\pi\cos(\pi z)}{\sin^2(\pi z)}=z (\pi^2 \csc^3(\pi z) + π^2 \cot^2(\pi z) \csc(\pi z)) - 2 \pi \cot(\pi z) \csc(\pi z)$$

Así que..: $$\mathrm{Res}[f,0]=\lim_{z->0}\frac{1}{2!}[z (\pi^2 \csc^3(\pi z) + π^2 \cot^2(\pi z) \csc(\pi z)) - 2 \pi \cot(\pi z) \csc(\pi z)]$$

Utilizando $\cot(\pi z)=\frac{1}{\pi z}-\frac{\pi z}{3}+o(z)$ y $\csc(\pi z)=\frac{1}{\pi z}+\frac{\pi z}{6}+o(z)$ , obtenemos : $$\lim_{z->0}\frac{1}{2!}[z (\pi^2 \csc^3(\pi z) + π^2 \cot^2(\pi z) \csc(\pi z)) - 2 \pi \cot(\pi z) \csc(\pi z)]=\frac{\pi}{6}$$

$$\mathrm{Res}[f,0]=\frac{\pi}{6}$$

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También puede escribir : $$\frac{z}{\sin(\pi z)}=\frac{1}{\pi-\frac{\pi^3z^2}{6}+o(z^3)}$$

$$\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}\frac{z}{\sin(\pi z)}=\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}\frac{1}{\pi-\frac{\pi^3z^2}{6}+o(z^3)}=\frac{\pi}{3}+o(1)$$

Así que..:

$$\mathrm{Res}[f,0]=\lim_{z->0}\frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} z^2}\left [ \frac{1}{z^2\,\sin(\pi z)} z^3\right ]=\lim_{z->0}\frac{1}{2!}(\frac{\pi}{3}+o(1))=\frac{\pi}{6}$$