Una discusión sobre las ecuaciones diofánticas exponenciales y los triples pitagóricos

Question

Hacer todos los triples pitagóricos $(a,b,c)$ tienen la identidad que los tres ecuaciones (exponenciales diofánticas)

\begin{equation} a^x+b^y=c^z \end{equation} \begin{equation} b^y+c^z=a^x \end{equation} \begin{equation} a^x+c^z=b^y \end{equation} no tienen más que una solución entera positiva $(x,y,z)$ ?

Esta cuestión se inspira en tres ecuaciones diofánticas exponenciales (1) $3^x+4^y=5^z$ ,(2) $4^y+5^z=3^x$ y (3) $3^x+5^z=4^y$ .

Las ecuaciones (1)(2)(3) no tienen más que $1$ solución entera única. Aquí, voy a dar una prueba para la ecuación (3).

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Encontrar todas las soluciones enteras positivas $(x,y,z)$ de la ecuación $3^x+5^z=4^y$ .

$\because 3^x+5^z=4^y$ , $\therefore (-1)^x+1^z\equiv 0\;\; (\operatorname{mod} 4)$ . Además, como $x,y,z$ son todos enteros positivos, por lo que $x$ debe ser un múltiplo de $2$ . Sea $x=2a$ . Entonces $3^{2a}+5^z=2^{2y}$ , por lo que podemos obtener $$5^z=\left(2^y+3^a\right)\left(2^y-3^a\right).$$ Supongamos que $2^y+3^a=5^m, 2^y-3^a=5^n\;\;(m,n\in\mathbb{N}, m>n)$ restando las dos ecuaciones, obtenemos $2\cdot3^a=5^m-5^n$ . Si $n\geqslant1$ entonces $5\mid 5^m-5^n$ Así que $5\mid 2\cdot3^a$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $n=0$ .

Tenemos $2^y=3^a+1$ . Para $a=1$ obtenemos $y=2$ . Para $a\geqslant 2$ escribiendo la ecuación en módulo $4$ obtenemos $0\equiv (-1)^a+1$ Así que $a$ debe ser impar. Dejemos que $a=2k+1$ entonces $3^{2k+1}+1=2^a$ . es decir $3\cdot 9^k+1=2^y$ . Escribir la ecuación en módulo $8$ obtenemos $3\cdot 1^k+1\equiv 0$ . Lo cual es otra contradicción, así que $(a,y)=(1,2)$ lo que nos lleva a $x=2a=2$ .

Enchufar $x=2, y=2$ en la ecuación original (ecuación (3)), obtenemos $5^z=7$ . Por lo tanto, $z$ no es un número entero, por lo que el exponencial diofántica $3^x+5^z=4^y$ no tiene ninguna solución.

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Tengo la curiosidad de saber si la afirmación anterior (al principio de la pregunta) es cierta para todos los triples pitagóricos. Por ejemplo, ¿la exponencial ecuación diofantina $20^x+29^z=21^y$ no tienen más que una única solución? ¿Existe una forma general de abordar este problema?

Nota :

1. De nuevo, yo esperanza mi pregunta no es una duplicación.
2. $\mathbb{N}$ es el conjunto de enteros positivos.

Answer 1

Es una pregunta interesante.

Para la ecuación particular $$ 3^x+5^z=4^y \qquad\qquad\;\;\;\, $$ tu intento de demostrar que no hay soluciones de números enteros positivos tenía fallos, como se ha señalado en los comentarios.

Sin embargo, para esa ecuación, no hay, de hecho, soluciones enteras positivas.

Esto se puede demostrar de la siguiente manera. . .

Dejemos que $\mathbb{N}$ denota el conjunto de enteros positivos y sea $R,S,T$ definirse como \begin{align*} R&=\{3^x\;\text{mod}\;20{\,\mid\,}x\in\mathbb{N}\} \\[4pt] S&=\{5^z\;\text{mod}\;20{\,\mid\,}z\in\mathbb{N}\} \\[4pt] T&=\{4^y\;\text{mod}\;20{\,\mid\,}y\in\mathbb{N}\} \\[4pt] \end{align*} Entonces obtenemos \begin{align*} R&=\{1,3,7,9\} \qquad\qquad\;\, \\[4pt] S&=\{5\} \\[4pt] T&=\{4,16\} \\[4pt] \end{align*} y entonces se comprueba fácilmente que no existen $r,s,t$ avec $r\in R,\;s\in S,\;t\in T$ tal que $$ r+s\equiv t\;(\text{mod}\;20) \qquad $$ Así, la congruencia $$ 3^x+5^z\equiv 4^y\;(\text{mod}\;20) \;\;\, $$ no tiene soluciones enteras positivas, por lo que la ecuación $$ 3^x+5^z=4^y \qquad\qquad\;\;\; $$ no tiene soluciones enteras positivas.

Answer 2

Un argumento mod $3$ muestra que $z$ es uniforme, entonces dejemos que $z=2{z_1}.$

Por lo tanto, $3^x = 2^{2y} - 5^{2z_1} = ( 2^y + 5^{z_1})(2^y - 5^{z_1})$

$\bullet\ 2^y - 5^{z_1}\ne 1$

$2^y + 5^{z_1} \pmod 3 \implies z_1 \not\equiv y \pmod 3$
$2^y - 5^{z_1} \pmod 3 \implies z_1 \equiv y \pmod 3$
Esto es una contradicción.

$\bullet\ 2^y - 5^{z_1} = 1$

Según La conjetura de Catalán , $2^y - 5^{z_1} = 1$ no tiene soluciones enteras positivas.

Por lo tanto, $3^x+5^z=4^y$ no tiene soluciones enteras positivas.