Relación entre una función creciente y su integral de Riemann

Question

Recientemente he estado probando algunas preguntas sobre la integral de Riemann. Me quedé atascado en uno de los problemas que dice:

Supongamos que $f$ es una función de valor real creciente en [ $0$ , $\infty$ ] con $f$ ( $x$ ) $\gt$ $0$ para todos $x$ y que $g$ ( $x$ )= $\frac{1}{x}$$ \int_{0}^{x}f(u)du$ donde $0$ $\lt x\lt$ $\infty$ .

Entonces $g$ ( $x$ ) $\le$ $f$ ( $x$ ) para todos los $x$ en ( $0,\infty$ ).

¿Cómo mostrar esto?

Puedo demostrar que $g$ ( $x$ ) $\gt$ $0$ pero no puede mostrar la relación anterior.

¡Ayuda, por favor!

Answer 1

Dejemos que $ x>0$ .

$ f $ está aumentando en $ [0,x] \;\;\implies$

$$(\forall u\in[0,x]) \;\; f(u)\le f(x) \;\;\implies $$

$$\int_0^xf(u)du\le \int_0^xf(x)du \;\; \implies$$

$$\int_0^xf(u)du\le f(x)(x-0)\;\; \implies$$

$$g(x)\le f(x)$$

Utilizamos el hecho de que una función monótona en $ [a,b] $ es Riemann-integrable en $[a,b]$ .