¿Cómo puedo demostrar que la integral existe y tiene un límite superior e inferior para las sumas para una función discontinua?

Question

Hicimos mucha práctica con funciones continuas y encontrando las sumas superiores e inferiores de Riemann pero no hemos hecho ningún ejemplo con funciones discontinuas. En concreto, no sé cómo puedo encontrar las sumas superior e inferior de Riemann y demostrar que es integrable para esta función:

$f(x) = \begin{cases} 3 & x=0 \\ 1 & x\neq 0 \\ \end{cases}$ de $[0,1]$ .

No estoy seguro de cómo puedo hacer esto porque parece que a primera vista, tanto la suma superior como la inferior de Riemann son idénticas ya que nada cambia y es una línea horizontal. Sé que se puede demostrar la integrabilidad diciendo que la diferencia absoluta de las dos sumas es menor que $\epsilon$ . Pero no sé cómo puedo empezar a crear las sumas para ninguno de los dos. Lo único que sé con seguridad es que la integral es $1$ .

Answer 1

Empiece por la definición. Primero dividir el intervalo; como la función es constante excepto en el límite, esta división no importa en absoluto. (Más allá de que resulte ser integrable de Riemann, en cuyo caso realmente no importará). Dado $\epsilon>0$ podemos simplemente tomar $0 < \epsilon < x_2 < ... < x_{n-1} < 1$ como nuestra partición, y decir la diferencia entre el $x_n$ se hace pequeño.

En cada intervalo, el sumo y el ínfimo de $f$ es 1, excepto en el primero. Aquí, el sup es 3, mientras que el inf es 1. Pero la anchura del intervalo es $\epsilon$ haciendo que la contribución a la suma superior sea sólo $3\epsilon$ . La contribución en todos los demás lugares es $1-\epsilon$ . La suma inferior es sólo 1.

Dado $\epsilon$ puede hacerse arbitrariamente pequeña, la integral converge, demostrando que esta función es integrable de Riemann con una integral de 1.