¿Por qué una secuencia equicontinua y puntualmente acotada de funciones de valor real en un espacio métrico compacto es uniformemente acotada?

Question

¿Por qué una secuencia equicontinua y puntualmente acotada de funciones de valor real en un espacio métrico compacto es uniformemente acotada? No he podido entender esto. ¿Alguien puede explicarlo?

Answer 1

Heurísticamente, si tienes una familia de funciones equicontinuas, entonces podrías tratarlas esencialmente como una "única función continua" porque para cualquier $\epsilon>0$ siempre se puede encontrar un $\delta>0$ que funcione para toda su familia. Además, sabemos que una función continua en un espacio métrico compacto alcanza su máximo, es decir, está acotada. Por lo tanto, en conjunto se puede ver por qué la familia debe ser uniformemente acotada.

Editar:

Aquí está la prueba.

Dejemos que $(X, d)$ denotan el espacio métrico compacto y $\mathcal{F}$ es nuestra familia equicontinua de funciones.

Arreglar $\epsilon>0$ . Entonces, para cada $x \in X$ por la propiedad de equicontinuidad de $\mathcal{F}$ podemos encontrar un $\delta_x>0$ (es decir $\delta$ en función de $x$ ) tal que \begin{align} |f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon \ \ \text{ whenever } \ \ |x-y|<\delta_x. \end{align} En particular, se deduce que \begin{align} |f_n(y)| < \epsilon +|f_n(x)| \leq \epsilon +M_x \ \ \text{ whenever } \ \ |x-y|<\delta_x. \end{align} Nótese que hemos utilizado la acotación puntual de $\mathcal{F}$ . A continuación, observe $X \subset \bigcup_{x \in X} B(x, \delta_x)$ es una cubierta abierta de nuestro espacio métrico compacto. Por tanto, por compacidad existe una subcubierta finita, digamos $\bigcup^N_{i=1} B(x_i, \delta_i)$ . Sea $M = \sup_{1\leq i \leq N} M_{x_i}<\infty$ entonces vemos que \begin{align} |f_n(y)| <\epsilon+M \end{align} por cada $y \in X$ y $n\in \mathbb{N}$ .

Answer 2

He aquí una prueba formal, que puede encontrarse en muchos libros de texto (Rudin capítulo 7, por ejemplo).

Dejemos que $\{f_n\}$ sea la secuencia de funciones y que $K$ sea su dominio compacto. Por equicontinuidad, para cualquier $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todo $f_n$ $|f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon$ para $d(x,y)<\delta$ . Por la compacidad de $K$ podemos encontrar un número finito de puntos $p_1,\ldots,p_r$ tal que $K$ está cubierto por $\delta$ -bolas centradas en el $p_i$ . Ahora, para cada $p_i$ existe $M_i$ tal que $|f_n(p_i)|<M_i$ para todos $n$ para que dejar $M$ sea el máximo de los $M_i$ encontramos, utilizando la condición de equicontinuidad, que $|f_n(x)|<M+\epsilon$ para todos $n$ y $x\in K$ . Dejando que $\epsilon$ se reduce a cero, la afirmación es la siguiente.

Answer 3

De hecho, podemos generalizar esto ligeramente: no necesitamos $I$ para ser contable.

Dejemos que $X$ sea un espacio compacto. Sea $\{f_i \colon X\to\mathbb R; i\in I\}$ sea un sistema equicontinuo de funciones, $I$ siendo un conjunto arbitrario. Además, para cada $x\in X$ existe $M_x$ tal que $|f_i(x)|<M_x$ para cada $i\in I$ es decir, las funciones están acotadas puntualmente. Entonces el sistema de funciones está uniformemente acotado, es decir, existe $M$ tal que $|f_i(x)|<M$ para cada $i\in I$ y para cada $x\in X$ .

Prueba. Denotemos $g(x)=\sup\limits_{i\in I} |f_i(x)|$ . (El hecho de que las funciones dadas estén acotadas puntualmente significa que $g$ es una función de valor real).

• Demostraremos que los conjuntos $A_r=\{x\in X; g(x)<r\}$ , $r\in\mathbb R$ están abiertos.
• Entonces podemos utilizar el hecho de que se trata de una cubierta abierta de un espacio compacto para obtener un límite uniforme.

Cada $A_r$ está abierto. Si ya sabemos que El sumo de una familia de funciones equicontinuas es continuo , entonces obtenemos que $A_r=g^{-1}(-\infty,r)$ está abierto.

Pero también es fácil demostrarlo directamente. (Aquí repito básicamente la parte relevante de la prueba enlazada anteriormente). Supongamos que $x\in A_r$ es decir, $$g(x)=\sup_{i\in I} |f_i(x)|<r.$$ Denotemos $\varepsilon=(r-g(x))/2$ . La equicontinuidad implica que existe una vecindad abierta $U$ de $x$ tal que $$|f_i(y)-f_i(x)|<\varepsilon$$ siempre que $y\in U$ y $i\in I$ . De esto obtenemos $$|f_i(y)| \le |f_i(x)| + |f_i(y)-f_i(x)| < g(x) + \varepsilon < r$$ por cada $i\in I$ . Así vemos que hay un conjunto abierto $U$ tal que $x\in U\subseteq A_r$ . Como esto es cierto para cada $x\in A_r$ el conjunto $A_r$ está abierto.

Portada abierta y encuadernación uniforme. La delimitación puntual significa que $x\in A_r$ para $r=M_x$ . Así que $\{A_r; r\in\mathbb R\}$ es una cubierta abierta de $X$ . Desde $X$ es compacto, existe una subcubierta finita $A_{r_1},\dots,A_{r_n}$ . Si ponemos $M=\max\{r_1,\dots,r_n\}$ entonces tenemos $$g(x)=\sup\limits_{i\in I} |f_i(x)| \le M,$$ lo que significa que el conjunto $\{f_i; i\in I\}$ está uniformemente acotada. $\square$

Esta prueba es similar a la prueba publicada en otra respuesta. Sin embargo, me pareció útil subrayar el punto de que esto está de hecho relacionado con el hecho de que el supremum es continuo. (De hecho, sólo utilizamos la semicontinuidad superior).