Subsucesión convergente en una secuencia acotada de un espacio métrico completo

Question

Considera un espacio métrico completo E con la siguiente propiedad:

Si $x_n$ es una secuencia acotada, entonces $\forall \epsilon > 0$, $\exists i,j , i \neq j$ tal que $d(x_i,x_j) < \epsilon$. Pregunta:
Dada cualquier secuencia acotada en $E$, ¿siempre podemos encontrar una subsucesión convergente? No puedo construir una subsucesión convergente para una secuencia acotada arbitraria en E - ¡la propiedad dada parece demasiado débil! ¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Sea $(x_n)_{n=1}^\infty$ una secuencia acotada en $E$. Afirmamos que $X := \{x_n\}_{n=1}^\infty$ es totalmente acotado. De hecho, supongamos que esto no es cierto. Entonces existe un $\epsilon >0$ con la siguiente propiedad:

Para cada conjunto finito $F \subseteq X,$ se puede encontrar $x \in X$ tal que $d(x,y) \geqq \epsilon$ siempre que $y \in F$.

Construimos una subsecuencia $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$ de la siguiente manera. Ponemos $n_1 :=1$. Supongamos que $n_1<...< n_{k-1}$ fueron obtenidos de modo que $d(x_{n_i},x_{n_j})\geqq \epsilon$ siempre que $1\leqq i,j

$$B(x_{n_1};\epsilon),...,B(x_{n_{k-1}};\epsilon)$$

deben fallar al cubrir $X$, y debe haber una cantidad infinita de puntos de $X$ fuera de su unión. Sea $n_k>n_{k-1}$ tal que

$$x_{n_k} \not\in B(x_{n_1};\epsilon)\cup...\cup B(x_{n_{k-1}};\epsilon).$$

De este modo, la secuencia acotada $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$ es tal que $d(x_{n_i},x_{n_j})\geqq \epsilon$ siempre que $i \neq j$, y la propiedad declarada de $E$ falla.

Se sigue que si $E$ tiene la propiedad, $X$ debe ser totalmente acotado. Dado que $E$ es completo, $X$ debe ser relativamente compacto (su cierre debe ser compacto). Por lo tanto, la secuencia $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $X$ tiene una subsucesión convergente.

Answer 2

Aquí hay un enfoque para resolverlo: Supongamos que $E$ tiene esa propiedad.

Primero prueba: Para cualquier secuencia acotada $\{x_k\}_{k=1}^{\infty}$ en $E$ y para cualquier $\epsilon>0$, existe un punto $x_n$ que está a una distancia $\epsilon$ de infinitos otros puntos en la secuencia.

Siguiente: Utiliza esta propiedad para construir una secuencia de Cauchy.