Considera un espacio métrico completo E con la siguiente propiedad:
Si $x_n$ es una secuencia acotada, entonces $\forall \epsilon > 0$, $\exists i,j , i \neq j$ tal que $d(x_i,x_j) < \epsilon$. Pregunta:
Dada cualquier secuencia acotada en $E$, ¿siempre podemos encontrar una subsucesión convergente? No puedo construir una subsucesión convergente para una secuencia acotada arbitraria en E - ¡la propiedad dada parece demasiado débil! ¿Me estoy perdiendo algo?
Sea $(x_n)_{n=1}^\infty$ una secuencia acotada en $E$. Afirmamos que $X := \{x_n\}_{n=1}^\infty$ es totalmente acotado. De hecho, supongamos que esto no es cierto. Entonces existe un $\epsilon >0$ con la siguiente propiedad:
Para cada conjunto finito $F \subseteq X,$ se puede encontrar $x \in X$ tal que $d(x,y) \geqq \epsilon$ siempre que $y \in F$.
Construimos una subsecuencia $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$ de la siguiente manera. Ponemos $n_1 :=1$. Supongamos que $n_1<...< n_{k-1}$ fueron obtenidos de modo que $d(x_{n_i},x_{n_j})\geqq \epsilon$ siempre que $1\leqq i,j
$$B(x_{n_1};\epsilon),...,B(x_{n_{k-1}};\epsilon)$$
deben fallar al cubrir $X$, y debe haber una cantidad infinita de puntos de $X$ fuera de su unión. Sea $n_k>n_{k-1}$ tal que
$$x_{n_k} \not\in B(x_{n_1};\epsilon)\cup...\cup B(x_{n_{k-1}};\epsilon).$$
De este modo, la secuencia acotada $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$ es tal que $d(x_{n_i},x_{n_j})\geqq \epsilon$ siempre que $i \neq j$, y la propiedad declarada de $E$ falla.
Se sigue que si $E$ tiene la propiedad, $X$ debe ser totalmente acotado. Dado que $E$ es completo, $X$ debe ser relativamente compacto (su cierre debe ser compacto). Por lo tanto, la secuencia $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $X$ tiene una subsucesión convergente.
Votado positivamente. Creo que esta es una prueba muy elegante, excepto por algún 'abuso notacional'. "Precompact" se está utilizando en lugar de 'totalmente acotado', y 'relativamente compacto' es lo mismo que 'precompacto'. Por supuesto, para espacios métricos completos son equivalentes, pero creo que lleva al lector por un camino de pensamiento incorrecto. Tomaré la libertad de editar tu respuesta.
Entendí hasta el punto donde $x_{n_k} \notin B(x_{n_1},\epsilon) \cup B(x_{n_2},\epsilon) \cup ... B(x_{n_{k-1}},\epsilon)$. ¿Pero cómo se deduce la siguiente afirmación? Dado que $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ es una secuencia infinita, ¿cómo elegimos $x_{n_{k+1}}, x_{n_{k+2}}$ etc?
Acepté la edición. Mi principal referencia en lo que respecta a espacios métricos es "Foundations of Modern Analysis" de Dieudonné (capítulo 3). Allí, precompacto significa lo mismo que totalmente acotado. Pero aceptaré tu crítica ya que esto ha estado sucediendo con frecuencia. Parece que la terminología utilizada en algunos libros clásicos como este está quedando obsoleta. Otra cosa que suele molestar a la gente es cuando escribo $\max(\cdot)$ en lugar de $\max\{\cdot\}$.
Aquí hay un enfoque para resolverlo: Supongamos que $E$ tiene esa propiedad.
Primero prueba: Para cualquier secuencia acotada $\{x_k\}_{k=1}^{\infty}$ en $E$ y para cualquier $\epsilon>0$, existe un punto $x_n$ que está a una distancia $\epsilon$ de infinitos otros puntos en la secuencia.
Siguiente: Utiliza esta propiedad para construir una secuencia de Cauchy.
¿Cómo demostramos la existencia de un punto de agrupamiento en la secuencia, cuando no se proporcionan detalles sobre la compacidad del espacio métrico?
¿Estás preguntando sobre mi sugerencia "siguiente"? ¿O sobre mi sugerencia de "primera prueba"? Me parece que una vez que tenemos una secuencia de Cauchy, estamos listos, ya que los espacios métricos completos aseguran que las secuencias de Cauchy convergen. Las cosas anteriores de "siguiente" y "primera prueba" no utilizan compacidad.
Me refería a la sugerencia de "demostración inicial". No parece que pueda demostrar la existencia de dicho punto basándome únicamente en la propiedad dada.
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Creo que necesitas añadir la suposición de que se pueden encontrar tales $i,j$ para índices arbitrariamente grandes $i$ y $j$. De lo contrario, simplemente define $x_1=x_2$, y la secuencia $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ satisface trivialmente tu condición porque $d(x_1,x_2)=0<\epsilon$ para todo $\epsilon>0$.
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Añadí la palabra "cualquier" a la pregunta para hacerla más clara. El problema pregunta si, dada cualquier secuencia acotada, podemos encontrar una subsecuencia convergente. Gracias.
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Supongo que si haces que esa propiedad sea una propiedad de l espacio $E$, en lugar de una secuencia en particular, entonces puedes decir que se mantiene en cualquier cola (ya que una cola de una secuencia acotada también es una secuencia acotada), así que de hecho, para i,j arbitrariamente grandes. Tal vez eso es lo que querías decir de todos modos, lo leí de manera diferente.
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Entonces, ¿por qué no elegir simplemente $\epsilon_k$ de forma secuencial (y decreciente rápidamente) para construir una sucesión de Cauchy?
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Digamos que construimos una subsucesión como: Para $\epsilon_1$, podemos encontrar $d(x_{n_1},x_{n_2}) < \epsilon_1$ y para $\epsilon_2 < \epsilon_1$, podemos encontrar $d(x_{n_3},x_{n_4}) < \epsilon_2$, y así sucesivamente..... Esto no ayuda en la construcción de una sucesión de Cauchy, porque no hay relación entre $x_{n_2}$ y $x_{n_3}$. Este es el problema principal que estoy enfrentando.
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Veo el problema: Quieres que los pares se alineen...