Cualquier colector de Hyperkähler tiene 3 estructuras complejas $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ . Supongamos que existe una estructura compleja adicional $J$ . ¿Puede escribirse como $J = aI_{1} + bI_{2} + cI_{3}$ , donde $(a,b,c) \in S^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$ ? Espero que la pregunta no sea demasiado trivial :).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que $J$ es compatible con $g$ para que $J^\dagger = -J$ . Entonces $J$ es una combinación lineal de $I_i$ como en el caso anterior si y sólo si $J I_i + I_i J = -2 a_i \mathbf{1}$ , donde $\mathbf{1}$ es el endomorfismo de identidad y $a_i$ son números reales que satisfacen $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ .
Prueba : La necesidad es evidente, ya que si $J = a_1 I_1 + a_2 I_2 + a_3 I_3$ entonces $I_i J + J I_i = -2a_i \mathbf{1}$ directamente de las relaciones de cuaterniones. A la inversa, supongamos que $J I_i + I_i J = -2 a_i \mathbf{1}$ con $\mathbf{a} \in S^2$ . Establecer $K = a_1 I_1 + a_2 I_2 + a_3 I_3$ . Entonces $K^2 = -\mathbf{1}$ y: \begin{align} (J-K)^2 &= (J - \sum a_i I_i)(J - \sum a_i I_i) \\\ &= J^2 - \sum a_i (I_i J + J I_i) + K^2 \\\ &= -\mathbf{1} + 2 \sum a_i^2 \mathbf{1} - \mathbf{1} \\\ &= -\mathbf{1} + 2 \mathbf{1} - \mathbf{1} = 0. \end{align} Así que $J-K$ es nilpotente. Por otro lado, $J-K$ es adjunto a Skew, por lo que de hecho debe ser idénticamente cero, es decir $J = K$ .
Trausti Thor
Puntos
2224
Esto es realmente un comentario, pero no encaja del todo, así que lo convertiré en una respuesta.
Parece que merece la pena comentar la diferencia entre las versiones infinitesimal y local/global de esta cuestión.
Digamos que estamos en la dimensión real $4n$ . Infinitesimalmente, es decir, en el espacio tangente en cualquier punto, las estructuras complejas ortogonales compatibles con la orientación están parametrizadas por $SO(4n)/U(2n)$ (donde la compatibilidad con la orientación consiste en exigir que el pfaffiano sea positivo). Dado que $\dim(SO(4n)/U(2n)) = 2n(2n-1) > 2$ para $n > 1$ está claro que la propiedad en cuestión falla infinitesimalmente para $n > 1$ . Por lo tanto, la afirmación sólo podría sostenerse localmente (o, de hecho, globalmente) si la condición de ser integrable se restringiera milagrosamente a la hiperkahler $S^2 \subset SO(4n)/U(n)$ en cada punto, lo cual es falso. Los contraejemplos más fáciles son cualquier estructura compleja en $\mathbb{H}^n$ no en la familia hiperkahler estándar como en el comentario muy útil de Paul Reynolds.
En la dimensión $4$ las cosas son un poco más interesantes ya que $SO(4)/U(2) \simeq S^2$ por lo que infinitesimalmente en 4 dimensiones todas las estructuras complejas relevantes son una combinación lineal de cualquier triple hiperkahler. Sin embargo, los coeficientes $a_i$ no son constantes en general. Por lo tanto, para zanjar la cuestión debemos exhibir una estructura compleja integrable para la que $a_i$ no son constantes. Confieso que no se me ocurre un ejemplo trivial, pero a primera vista este documento aparece para discutir el asunto, al menos localmente. (Ciertamente, existen).
