Verificando el resultado de esta integral compleja (no integrable analíticamente)

Question

¿Podría alguien verificar que el siguiente resultado es correcto?

$$\frac{1}{2i\pi}\int_{C(0,1)} \frac{1}{e^z - 1 - z} dz = -\frac{2}{3}$$

( $C(0,1)$ representa el círculo unitario)

Estoy tratando de utilizar la expansión de la función como una serie de Laurent en combinación con la fórmula integral de Cauchy para obtener este resultado. Si alguien pudiera verificar que lo he hecho correctamente y también decirme si hay una forma más agradable de evaluar esto, sería de gran ayuda.

Gracias, Helen.

Answer 1

$$e^z-1-z=\frac{z^2}2+\frac{z^3}6+\ldots=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\ldots\right)\implies$$

$$\frac1{e^z+1-z}=\frac2{z^2}\left(1-\frac z3+\frac{z^2}9-\ldots\right)=\frac2{z^2}-\frac2{3z}+\frac29-\ldots\implies$$

el residuo de la función en el cero es $\;-\frac23\;$ y por lo tanto su resultado es correcto. Así que ¡buen trabajo!