Si $\sigma>1/2$ entonces $|\xi(s+1/2)|>|\xi(s-1/2)|$ donde $\xi$ es la función xi de Riemann.

Question

Estoy resolviendo la Teoría Multiplicativa de Números de Montogomery H.L. y Vaughan R.C. (2006)pg. 354 sección 10.2 pregunta 7

Pregunta Si $\xi$ denota la función de Riemann xi y $\Re(s)=\sigma$ entonces demuestre que si $\sigma>1/2$ entonces $$|\xi(s+1/2)|>|\xi(s-1/2)| $$

Mis percepciones: Arreglar $t_0\in\mathbb{R}$ y escribir $s=\sigma+it_0$ donde $\sigma>1/2$ . $$|\xi(s+1/2)|=|\xi(\sigma+1/2+it_0)|\tag{1}$$ Desde $\sigma>1/2$ por lo que tenemos $\sigma+1/2>1$ . También tenemos $$|\xi(s-1/2)|=|\xi(\sigma-1/2+it_0)|\tag{2}$$ donde $\sigma-1/2>0$ .

¿Cómo demostrar que el lado derecho de la ecuación (1) es mayor que el lado derecho de la ecuación (2)? Cualquier ayuda es necesaria.

Answer 1

Utilizamos las siguientes tres desigualdades para $a>1, 0<b<1$ a saber:

$a-1/2>|a-3/2|$ (esto utiliza $a>1$ )

$a-b>|a+b-2|$ (esto utiliza $b<1, a>1$ )

$a+b-1>|a-b-1|$ (esto utiliza $b>0, a>1$ )

Ahora los ceros de $\xi$ o están en la línea crítica así que $\Re \rho =1/2$ o vienen en grupos de $4$ donde con $\rho=b+ic, 1/2<b<1, c>0$ también tenemos $\bar \rho, 1-\rho, 1-\bar \rho$ ; observamos que en este caso $1-\bar \rho =1-b+ic$ , mientras que $\bar \rho =b-ic, 1-\rho =1-b-ic$

Dejemos ahora $a=\sigma +1/2>1$ así que $s+1/2 =a+it, s-1/2=a-1+it$

Para el primer caso en el que $\Re \rho =1/2$ tenemos $s+1/2-\rho=a-1/2+i(t-c), s-1/2-\rho=a-3/2+i(t-c)$ y por la primera desigualdad anterior $a-1/2>|a-3/2|$ por lo tanto (ya que tienen las mismas partes imaginarias) $|s+1/2-\rho|>|s-1/2-\rho|$ o de forma equivalente

$|1-(s+1/2)/\rho|>|1-(s-1/2)/\rho|$

En el segundo caso, agrupamos $\rho, 1-\bar \rho$ y observe que $s+1/2-\rho=(a-b)+i(t-c), s-1/2-(1-\bar \rho)=(a+b-2)+i(t-c)$ y por la segunda desigualdad anterior (utilizando de nuevo que las partes imaginarias son iguales) obtenemos que $|s+1/2-\rho| > |s-1/2-(1-\bar \rho)|$

Pero ahora $s+1/2-(1-\bar \rho)=(a+b-1)+i(t-c), s-1/2-\rho=(a-b-1)+i(t-c)$ y por la tercera desigualdad anterior obtenemos $|s+1/2-(1-\bar \rho)| > |s-1/2-\rho|$ así que multiplicando lo anterior obtenemos

$|1-(s+1/2)/(1-\bar \rho)||1-(s+1/2)/\rho|>|1-(s-1/2)/(1-\bar \rho)||1-(s-1/2)/\rho|$

Finalmente la agrupación $\bar \rho, 1-\rho$ juntos que ahora corresponden a $b, -c$ repetimos el argumetn y obtenemos

$|1-(s+1/2)/(1-\rho)||1-(s+1/2)/\bar \rho|>|1-(s-1/2)/(1-\rho)||1-(s-1/2)/\bar \rho|$

Multiplicando todo lo anterior y utilizando el producto de Hadamrd de $\xi$ ¡hemos terminado!