Requisitos previos para entender la conjetura de Hodge

Question

La conjetura de Hodge es un importante problema matemático abierto que afirma que en una variedad compleja $X$ y sus respectivas clases de Hodge, definidas como

$Hdg^k(X)= H^{2k}(X,\mathbb{Q})\cap H^{k,k}(X)$

que las clases de Hodge son combinaciones lineales con coeficientes racionales de las clases de cohomología de subvariedades complejas de $X$ .

¿Cuáles son los requisitos para entender esta conjetura?

Todas las respuestas son muy apreciadas.

Answer 1

Su pregunta es muy amplia. No conozco sus antecedentes, pero debe comenzar con los siguientes puntos:

Atiyah, M. F.; Hirzebruch, F. (1961), "Vector bundles and homogeneous spaces", Proc. Sympos. Pure Math. 3: 7-38

Cattani, Eduardo; Deligne, Pierre; Kaplan, Aroldo (1995), "On the locus of Hodge classes", Journal of the American Mathematical Society 8 (2): 483-506, doi:10.2307/2152824, JSTOR 2152824, MR 1273413.

Grothendieck, A. (1969), "Hodge's general conjecture is false for trivial reasons", Topology 8 (3): 299-303, doi:10.1016/0040-9383(69)90016-0.

Hodge, W. V. D. (1950), "The topological invariants of algebraic varieties", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Cambridge, MA) 1: 181-192.

Moonen, B. J. J.; Zarhin, Yu. G. (1999), "Hodge classes on abelian varieties of low dimension", Mathematische Annalen 315 (4): 711-733.

Voisin, Claire (2002), "A counterexample to the Hodge conjecture extended to Kähler varieties", Int Math Res Notices 2002 (20): 1057-1075.

Consulte también estos enlaces para obtener más detalles sobre las referencias:

http://www.math.jussieu.fr/~voisin/Articlesweb/takagifinal.pdf

http://www.claymath.org/millennium/Hodge_Conjecture/hodge.pdf

Este enlace también es muy importante:

https://mathoverflow.net/questions/54197/why-is-the-hodge-conjecture-so-important

Answer 2

Aunque La conferencia de Dan Freed sigue siendo una introducción clásica no se puede equivocar con el serie de vídeos aquí también.

Hay que familiarizarse con la geometría básica, el cálculo, la topología algebraica, la topología diferencial y la geometría algebraica, Teorema de Bezout y Teoría de Hodge en general.

Aquí también hay un vistazo de Introducción de Kevin Devlin a los problemas del Milenio .