Uso de la trigonometría inversa. Técnica

Question

$\int$$ \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2+4}}$

Dejemos que $x = 2\tan\theta +1$

$dx= 2\sec^2\theta d\theta$

$= \int$$ \frac{2\sec^2\theta d\theta}{\sqrt{4\sec^2\theta}}$

$=\int\sec d\theta$

$= \ln(\sec\theta + \tan\theta) + C$

Triángulo basado en la sustitución de x: opuesto= $x-1$

adyacente=2 e hipotenusa = $\sqrt{(x-1)^2+4}$

Por lo tanto, la respuesta $=\ln(\frac{\sqrt{(x-1)^2+4}}{2} + \frac{x-1}{2}) + C$

Sin embargo, según mi solución dada, debería ser igual a

$=\ln(\sqrt{x^2-2x+5} + x-1) + C$

Sé que esta es la forma no factorizada del polinomio pero no sé por qué el

2 en mi denominador es incorrecto.

Answer 1

$$\ln\left(\frac{\sqrt{(x-1)^2+4}}{2} + \frac{x-1}{2}\right) + C=\ln\left(\frac{\sqrt{(x-1)^2+4}+x-1}{2}\right) + C=\ln\left(\sqrt{(x-1)^2+4}+x-1\right)-\ln 2 + C=\ln\left(\sqrt{(x-1)^2+4}+x-1\right)+C'$$

Deberías saber $\ln ab=\ln a+\ln b$ .