Prueba sencilla de la existencia de Lebesgue-pre medida

Question

En la conferencia sobre teoría de la medida a la que asistí el semestre pasado, tuvimos una especie de prueba técnica complicada para la existencia de la Lebesgue-premedida. Sin embargo, no puedo ver por qué este argumento más fácil no funciona:

Dejemos $\lambda((a, b]) = b - a$ finitamente aditivo en el anillo $R = \{ \mathrm{uniones \, finitas \, disjuntas \, de \,} (a, b] \}$. Teniendo una unión disjunta de elementos $A_n \in R$ que nuevamente se encuentra en $R$, por lo que $\bigsqcup_{n \geq 1} A_n \in R$ podemos asumir sin pérdida de generalidad que $\bigsqcup_{n \geq 1} A_n = (a, b]$. Ahora podemos ver fácilmente que $$\sum_{n \geq 1} \lambda(A_n) \leq \lambda((a, b])$$ por lo tanto, la suma infinita es absolutamente convergente y puede ser reordenada. Reordénala de manera que $A_i = (x_i, x_{i + 1}]$ con $x_i < x_{i + 1}$ para todos los $i$. Entonces obtenemos una suma telescópica $$\sum_{i \geq 1} \lambda((x_i, x_{i + 1}]) = \sum_{i \geq 1} (x_{i + 1} - x_{i}) = \lim_{i \rightarrow \infty} x_i - x_1 = b - a$$ Por lo tanto, tenemos igualdad.

Ahora, la pregunta es: ¿Funciona esta prueba? ¿O falta algo?

Answer 1

Voy a hablar de $[a,b)$ en lugar de $(a,b]$. La razón es que ese es el tipo de intervalo semiabierto con el que tiendo a trabajar; por lo tanto, muchas cosas en la primera versión de esta publicación estaban simplemente mal. La forma más sencilla de arreglarlo es cambiar $(a,b]$ a $[a,b)$ en todas partes...

¡No puedes reorganizar de esa manera! No quiero decir que no puedas o que las cosas no funcionen si lo haces, quiero decir que literalmente no puedes; en general, no hay tal reordenamiento. La forma en que esos intervalos se ajustan juntos puede ser mucho más complicada que eso.

Ejemplo sencillo: Digamos que $I_n=[1-1/n,1-1/(n+1))$, entonces $[0,1)=\bigcup_{n=1}^\infty I_n$. Esos intervalos se pueden ordenar como quieras, de hecho ya están ordenados de esa manera.

Pero ahora di $J_n=[2-1/n,2-1/(n+1))$. Así que $[0,2)=\bigcup_{n=1}^\infty I_n \cup\bigcup_{n=1}^\infty J_n. No puedes "reordenar" la colección de todos los $I_n$ y los $J_n de la manera que quieres.

Con eso es suficiente para mostrar que tu prueba no funciona. Pero puede ser mucho peor. Supongamos que $I_n$ es como se mencionó anteriormente. Ahora, para cada $n$ puedes encontrar infinitos intervalos semicerrados disjuntos $I_{n,m}$, de modo que $I_n=\bigcup_{m=1}^\infty I_{n,m}$. Ahora tenemos $$[0,1)=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcup_{m=1}^\infty I_{n,m},$$y esa colección de intervalos es mucho peor que lo que tenías en mente cuando dijiste "reordenar"...

Realmente es más complicado de lo que piensas. Folland señala que la forma en que los intervalos están dispuestos de izquierda a derecha puede ser isomorfa a cualquier ordinal contable, si sabes lo que eso significa. Su punto es que puede ser complicado. También se puede decir "oh, así que no es peor que un ordinal contable" y luego dar una linda prueba por inducción transfinita. Pero no importa eso por ahora.