Prueba fácil de la existencia de la medida de Lebesgue

Question

En la clase de teoría de la medida a la que asistí el semestre pasado, tuvimos una especie de prueba técnica complicada para la existencia de la medida de Lebesgue. Sin embargo, no veo por qué este argumento más sencillo no funciona:

Dejemos que $\lambda((a, b]) = b - a$ finitamente aditivo en el anillo $R = \{ \mathrm{finite \, disjoint \, unions \, of \,} (a, b] \}$ . Teniendo una unión disjunta de elementos $A_n \in R$ que se encuentra de nuevo en $R$ Así que $\bigsqcup_{n \geq 1} A_n \in R$ podemos suponer, por ejemplo, que $\bigsqcup_{n \geq 1} A_n = (a, b]$ . Ahora se puede ver fácilmente que $$\sum_{n \geq 1} \lambda(A_n) \leq \lambda((a, b])$$ por lo que la suma infinita es absolutamente convergente y puede ser reordenada. Reordénela de forma que $A_i = (x_i, x_{i + 1}]$ con $x_i < x_{i + 1}$ para todos $i$ . Obtenemos entonces una suma telescópica $$\sum_{i \geq 1} \lambda((x_i, x_{i + 1}]) = \sum_{i \geq 1} (x_{i + 1} - x_{i}) = \lim_{i \rightarrow \infty} x_i - x_1 = b - a$$ Por lo tanto, tenemos la igualdad.

La pregunta ahora es: ¿Funciona esta prueba? ¿O falta algo?

Answer 1

Voy a hablar de $[a,b)$ en lugar de $(a,b]$ . La razón es que ese es el tipo de intervalo medio abierto con el que suelo trabajar; de ahí que muchas cosas de la primera versión de este post estuvieran simplemente mal. La forma más fácil de arreglarlo es simplemente cambiar $(a,b]$ a $[a,b)$ en todas partes...

No necesariamente se puede reordenar así. No quiero decir que no esté permitido o que las cosas no funcionen si lo haces, quiero decir que literalmente no puedes; en general no existe esa reordenación. La forma en que esos intervalos encajan puede ser mucho más complicada que eso.

Un ejemplo sencillo: Digamos que $I_n=[1-1/n,1-1/(n+1))$ Así que $[0,1)=\bigcup_{n=1}^\infty I_n$ . Esos Los intervalos pueden ordenarse como usted quiera, de hecho ya están ordenados así.

Pero ahora digamos $J_n=[2-1/n,2-1/(n+1))$ . Así que $[0,2)=\bigcup_{n=1}^ \infty I_n \cup\bigcup_{n=1}^\infty J_n$ . No se puede "reordenar" la colección de todos los $I_n$ y el $J_n$ de la manera que quieras.

Eso es suficiente para demostrar que tu prueba no funciona. Pero puede ser mucho peor. Digamos que $I_n$ es como el anterior. Ahora para cada $n$ se puede encontrar un número contable de intervalos semiabiertos disjuntos $I_{n,m}$ así que $I_n=\bigcup_{m=1}^\infty I_{n,m}$ . Ahora tenemos $$[0,1)=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcup_{m=1}^\infty I_{n,m},$$ y que colección de intervalos es mucho peor de lo que tenías en mente cuando dijiste "reordenamiento"...

Realmente es más complicado de lo que se piensa. Folland señala que la forma en que los intervalos están ordenados de izquierda a derecha puede ser isomorfa a cualquier ordinal contable, si sabes lo que significa. Su punto es que puede ser complicado. También se puede decir "oh, entonces no es peor que un ordinal contable" y luego dar una bonita prueba por inducción transfinita. Pero no importa eso por ahora.