No estoy seguro de si esta es una "buena" pregunta para este foro o si será rechazada, pero aquí va de todos modos...
Considere este problema. He estado tratando de encontrar una fórmula para expandir la "iteración regular" de "exp". La iteración regular es un tipo especial de función compleja que es una solución de la ecuación
$$f(z+1) = \exp(f(z))$$
(o más generalmente para funciones distintas de $\exp$ . Se llama "regular" porque como solución se caracteriza por el hecho de que el funcional itera $F^t(z) = f(t + f^{-1}(z))$ con $F$ siendo la función que es $\exp$ en este caso, son "regulares", o analíticas, en un punto fijo elegido de $F$ para todos los números no enteros $t$ . Hay iteraciones regulares para cada punto fijo).
Esta iteración regular en particular es toda una función. Para obtenerla, tomamos un punto fijo $L$ de $\exp$ y ampliar una solución en potencias de $L^z$ . El resultado es la obtención de una serie de Fourier
$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n L^{nz}$$
donde
$$a_0 = L$$ $$a_1 = 1$$ $$a_n = \frac{B_n(1! a_1, 2! a_2, ..., (n-1)! a_{n-1}, 0)}{n!(L^{n-1} - 1)}$$
con $B_n$ siendo el enésimo polinomio de Bell "completo". Este recursivo se obtienen las siguientes expansiones:
$$a_2 = \frac{1}{2L - 2}$$ $$a_3 = \frac{L + 2}{6L^3 - 6L^2 - 6L + 6}$$ $$a_4 = \frac{L^3 + 5L^2 + 6L + 6}{24L^6 - 24L^5 - 24L^4 + 24L^2 + 24L - 24}$$ $$a_5 = \frac{L^6 + 9L^5 + 24L^4 + 40L^3 + 46L^2 + 36L + 24}{120L^{10} - 120L^9 - 120L^8 + 240L^5 - 120L^2 - 120L + 120}$$ ...
Es aparece que, mediante el reconocimiento de patrones y la factorización de los denominadores,
$$a_n = \frac{\sum_{j=0}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} mag_{n,j} L^j}{\prod_{j=2}^{n} j(L^{j-1} - 1)}$$
donde $\mathrm{mag}_{n,j}$ es una secuencia de números "mágicos" (enteros) que tiene el siguiente aspecto (siendo la columna de la izquierda $j = 0$ ):
[actualización]: observación: para facilitar la lectura, he transpuesto la tabla original. Pero no adapté el uso de "columnas" y "filas" en el texto circundante, por lo que hay que traducirlo teniendo en cuenta (Gottfried Helms)
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 ...
--------------------------------------------------------------
1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 ...
1 6 36 240 1800 15120 141120 1451520
5 46 390 3480 33600 352800 4021920
1 40 480 5250 58800 695520 8769600
24 514 7028 91014 1204056 16664760
9 416 8056 124250 1855728 28264320
1 301 8252 155994 2640832 44216040
160 7426 177220 3473156 64324680
64 5979 186810 4277156 88189476
14 4208 181076 4942428 114342744
1 2542 163149 5395818 141184014
1295 134665 5561296 166279080
504 102745 5433412 187614312
139 71070 5021790 202901634
20 44605 4391304 210825718
1 24550 3625896 210403826
11712 2820686 201934358
4543 2056845 186191430
1344 1398299 164980407
265 879339 140216446
27 504762 114231817
1 260613 88934355
117748 66047166
45178 46576620
13845 31071602
3156 19460271
461 11365652
35 6112650
1 2987358
1298181
488878
153094
37692
6705
749
44
1 Pero, ¿cuál es la forma más sencilla (o al menos "razonablemente" sencilla) no recursivo ¿fórmula para estos números, o quizás para los numeradores en general? Como una fórmula de suma, o algo así. ¿Hay algún tipo de fórmula "combinatoria" aquí (sumas/productos, quizás anidados, de factoriales y potencias y cosas así, coeficientes binomiales, números especiales, etc.)? Veo que la primera columna es de factoriales... (¿cómo se puede demostrar eso?)
E independientemente de la fórmula del "mag", ¿se puede probar de la fórmula de recurrencia que el $a_n$ ¿tiene la forma dada, y si es así, cómo? Especialmente, ¿cómo se puede probar el numerador tiene grado $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ ? Tal vez eso pueda darnos una idea de cómo encontrar la fórmula del "mag".
El objetivo final es intentar obtener una expansión en serie para la función "tetration" $^z e$ más concretamente, la función tetracional de Kneser, descrita en los trabajos de Kneser sobre las soluciones de $f(f(x)) = \exp(x)$ y ecuaciones relacionadas (el documento está en alemán, sólo vi las traducciones). Aunque puede que no sea la mejor manera de hacerlo, ya que después de construir esta función de iteración regular, necesitamos un mapeo especial derivado de un mapeo de Riemann para "distorsionarlo" de manera que se convierta en un valor real en el eje real, y no sé si hay alguna buena manera de construir mapeos de Riemann incluso como expansiones infinitas "no cerradas". Pero sigo teniendo curiosidad por ver si al menos es posible una fórmula para esta función.
EDIT: Oh, y por todo lo que vale, aparentemente
$$\sum_{j=0}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} \mathrm{mag}_{n,j} = \frac{n!(n-1)!}{2^{n-1}}$$
si eso ayuda en algo (no veo cómo lo haría, y esto no está probado, sólo lo obtuve buscando las sumas en el sitio del diccionario de secuencias enteras). Tal vez algunas pistas en cuanto a por qué tiene ese valor podría ayudar a encontrar la fórmula, aunque...
Justificación para pensar que existe una fórmula
Por qué creo que esto existe, cuando no hay ninguna garantía de que este tipo de relación de recurrencia realmente no trivial deba siquiera tienen una solución no recursiva en primer lugar? Bueno, por un lado, el hecho de que gran parte de ella podría ser puesto en forma simple como se da, y también I hizo logran llegar a una fórmula explícita a partir de una forma muy indirecta, pero esta fórmula es excesivamente complicadas y basadas en muy general técnicas.
Es difícil describir aquí esa fórmula, pero el esquema del proceso para construirla es éste, por lo que vale:
- Una recurrencia general de la forma
$$A_1 = r_{1, 1}$$ $$A_n = \sum_{m=1}^{n-1} r_{n,m} A_m$$
tiene una fórmula de solución no recursiva. Esto lo encontré yo mismo, pero es horrible e implica operaciones de bits binarios. Este tipo de recurrencia es muy general, y también incluye la recurrencia para los números de Bernoulli y otros tipos de recurrencias.
- La "función regular de Schroder" de $F(z) = e^{uz} - 1$ es decir, la función que satisface $\mathrm{RSF}(F(z)) = K \mathrm{RSF}(z)$ (a veces llamada ecuación funcional de Schroder, de ahí su nombre) que es "regular" en el sentido de que puede convertirse en la iteración regular de $F$ (como hacemos a continuación), puede darse como una serie de Taylor
$$\mathrm{RSF}(z) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n z^n$$
donde $A_n$ viene dada por la fórmula de resolución de la recurrencia con $r_{1,1} = 1$ y $r_{n, m} = \frac{u^{n-1}}{1 - u^{n-1}} \frac{m!}{n!} S(n, m)$ (aquí, $S(n, m)$ es un número de Stirling del 2º tipo). Esto es espantoso, e implica muchas cosas de "manipulación de bits binarios", como contar los bits de 1 y las posiciones de los bits de 1, que tienen fórmulas no muy agradables (esta última implica una función indicadora de conjunto, al menos en la formulación que yo encontré...). No estoy seguro en absoluto cómo se podría simplificar. Las fórmulas no parecen prestarse a la simplificación, al menos ninguna que yo conozca.
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Invierte la función regular de Schroder utilizando el teorema de inversión de Lagrange. Esto puede expandirse de forma explícita "no recursiva", pero necesita los llamados "polinomios potenciales" y otra complejidad. Conecte el enorme $A_n$ fórmula en esto. ¡Horroroso!
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Ahora $U(z) = \mathrm{RSF}^{-1}(u^z)$ es una "iteración regular" de $e^{uz} - 1$ que se puede dar como una serie de Fourier, o una serie de Taylor en $u^z$ .
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Aplicar la conjugación topológica para conjugarla con la iteración de $e^{vz}$ tomando $v = ue^{-u}$ así $u = -W(-v)$ (función W de Lambert). Tomemos $H(z) = e^{-u} z - 1$ entonces encuentra $H^{-1} o U o H$ . Esto da una iteración regular de $e^{vz}$ , por lo que se establece $v = 1$ ( $u = -W(-1) = \mathrm{fixed\ point\ of\ exponential}$ ). Aunque, puede haber un desplazamiento constante de algún tipo compensando esta regularidad de la dada por el $a_n$ -fórmula. ¡¡¡¡EDIT: Oops!!!! Debería ser $H^{-1}(U(U^{-1}(H(U(0))) + z))$ pero espera, eso es sólo un cambio constante de $H^{-1} o U$ Así que toma $H^{-1} o U$ como la iteración regular de $e^{vz}$ , probablemente desplazado (en $z$ ) de la que intentamos resolver por una constante, pero debería ser estructuralmente idéntica (y se puede intentar calcular $U^{-1}(H(U(0)))$ . Tal vez ese sea el cambio requerido, pero no lo sé).
(EDIT: Parece que la numeración de los pasos anteriores no funciona bien por alguna razón).
Así que por esto, creo que una fórmula explícita existe (aunque ese desplazamiento constante al final puede ser un pequeño problema, pero no mucho, ya que es irrelevante para la estructura de la función). Sólo me interesa algo más sencillo que esto, preferiblemente algo que "rellene" la fórmula "mag" que di...
EDIT: Ahora estoy prácticamente seguro es posible una solución explícita no recursiva. Utilizando algunas pruebas numéricas, he calculado que el desplazamiento constante debe ser (para $v = 1$ es decir $u = L$ ) simplemente -1, es decir, tomar $H^{-1}(U(z - 1))$ y los coeficientes de la expansión de Fourier serán iguales a $a_n$ en forma explícita no recursiva (pero atroz De ahí mi pregunta, para encontrar algo más elegante . Esto al menos evidencia que una solución explícita no recursiva es posible , respondiendo a la preocupación de los escépticos de que no lo es y por tanto tampoco existiría uno elegante. Y es una buena apuesta que si existe una fórmula atroz derivada de principios muy generales (nota el paso 1 arriba), puede haber una más elegante derivada de principios más específicos). Por lo tanto, casi una prueba. Probablemente podría convertirse en una con un poco más de trabajo, aunque sería demasiado larga para publicarla aquí.
