Encontrar la distancia mínima de un punto a la curva

Question

Para encontrar la distancia de un punto a una curva (que es la gráfica de una función), el método habitual que he visto es el siguiente: dados un punto y una curva $\{x,f(x)\}\colon c\in\mathbb{R}$ (donde $f\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función), la distancia de $(x,f(x))$ de $(a,b)$ es $D(x)=\sqrt{(x-a)^2+(f(x)-b)^2}$ . Para obtener la distancia más corta de $(a,b)$ de la curva, resolvemos $D'(x)=0$ pour $x$ (y en la mayoría de los casos tenemos sólo infinitas soluciones) y para estos $x$ calculamos las distancias de $(x,f(x))$ a $(a,b)$ y encontrar el mínimo.

Me gustaría ver la teoría detrás del proceso "resolver $D'(x)=0$ ...", ya que no pude notar por qué $D$ ¿es diferenciable?, y si es diferenciable, ¿por qué $D'(x)$ debe tomarse como cero para obtener el punto más cercano? Por supuesto, habría ciertas suposiciones sobre la diferenciabilidad de $f$ Pero no he encontrado esa teoría en la mayoría de los textos de cálculo y análisis.

Por favor, sugiera las referencias en las que se abordan estas cuestiones "teóricamente".

Answer 1

La idea fundamental en los problemas de maximización y minimización es que en un pico de la gráfica de una función, o en el fondo de una depresión, la tangente es horizontal. Es decir, la derivada $f′(x_i)$ es $0$ en los puntos $x_i$ en el que $f(x_i)$ es un máximo o un mínimo. Para encontrar la distancia más corta, suelen suponer que la función de distancia es monotónicamente creciente y en lugar de la raíz cuadrada de la distancia, la función al cuadrado $D^2(x)$ se minimiza.

Obviamente, este método tiene sus propias limitaciones, como la diferenciabilidad y el problema del mínimo/máximo local en funciones no lineales. Este es el método más extendido para encontrar la solución a un problema de optimización, por ejemplo Método de Newton . Estos problemas se resuelven mayoritariamente de forma numérica y de ahí que la mayoría de los libros de optimización sean buenas referencias, como Optimización numérica, de Nocedal y Wright .

Answer 2

Su pregunta no es específica para el marco de un cálculo de distancia. De hecho, sólo estás tratando de encontrar el mínimo global de alguna función.

La teoría dice que para una función continua, este mínimo se produce o bien en un punto estacionario, o bien en un punto final del dominio. Si la función tiene discontinuidades, también se consideran los valores en estas discontinuidades.