De los apuntes del curso, veo que cuando se trabaja con una variable cuantitativa, podemos estandarizar la media muestral para que tenga una distribución normal (según el teorema del límite central) siempre que el tamaño de la muestra sea "grande". Como resultado, la distribución de las medias muestrales es una distribución normal (tanto si trabajamos con $\sigma$ o s) siempre que el tamaño de la muestra sea "grande":
$$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1),$$
$$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1),$$
Si el tamaño de la muestra es "pequeño", entonces tendremos una distribución t:
$$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim t_{n-1}.$$
Sin embargo, hace poco empezamos a estudiar la inferencia para la regresión lineal, y veo las dos ecuaciones siguientes:
$$\frac{\hat{\mu}_{y|x} - {\mu}_{y|x}} {\sigma{\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x-\overline{x})^2}{\sum_i(x_i-\overline{x})^2 }}}} \sim N(0,1),$$
$$\frac{\hat{\mu}_{y|x} - {\mu}_{y|x}} {s{\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x-\overline{x})^2}{\sum_i(x_i-\overline{x})^2 }}}} \sim t_{n-2}.$$
Me pregunto si la segunda ecuación puede tener una distribución normal si el tamaño de la muestra es "grande". En otras palabras, si tenemos un gran tamaño de la muestra, entonces todavía podemos utilizar el teorema del límite central y demostrar que:
$$\frac{\hat{\mu}_{y|x} - {\mu}_{y|x}} {s{\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x-\overline{x})^2}{\sum_i(x_i-\overline{x})^2 }}}} \sim N(0,1).$$
Los apuntes del curso hacen ver que cuando se trabaja con $\hat{\mu}_{y|x}$ (una media muestral) no podemos utilizar el teorema del límite central como para $\overline{x}$ (una media muestral). En el caso de la regresión lineal, parece que sólo $\sigma$ y s determinan si tenemos una distribución normal o una distribución t, respectivamente.
¿Es esto correcto, y si es así, por qué no podemos aplicar el teorema del límite central en el caso de la regresión lineal?
