Singularidades de la función exponencial $e^{-1/z^2}$

Question

Quiero saber sobre las singularidades de la función $$f(z) = e^{-1/z^2}, \ z \neq 0, \qquad \\ 0, \quad z = 0$$ . Explique en detalle por favor.

Para los polos necesito mirar los puntos donde $e^{1/z^2} = 0$ . Pero los exponenciales nunca son $0$ Así que no hay postes. Ahora bien, si expandimos su expansión en serie, entonces habrá infinitos términos que contengan potencias negativas de $z$ por lo que debe haber una singularidad esencial no aislada en $0$ . ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tenemos $e^z= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ Por lo tanto, para $z \ne 0$ ,

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!z^{2n}}$ .

Consecuencia: $f$ tiene en $0$ una singularidad esencial. Has escrito "singularidad esencial no aislada". Pero la singularidad en $0$ está aislado.

Una generalización: si $f$ es una función entera y si $g$ se define por $g(z)=f(1/z)$ entonces tenemos..:

$g$ tiene en $0$ una singularidad esencial $ \iff f$ no es un polinomio.

¡Intenta una prueba!

En el caso anterior tenemos $f(z)=e^{-z^2}$