En la QFT, ¿por qué un conmutador que desaparece garantiza la causalidad?

Question

En las teorías cuánticas de campo relativistas (QFT),

$$[\phi(x),\phi^\dagger(y)] = 0 \;\;\mathrm{if}\;\; (x-y)^2<0\,.$$

Por otro lado, incluso para una separación similar a la del espacio

$$\phi(x)\phi^\dagger(y)\ne0\,.$$

Muchos textos (por ejemplo, Peskin y Schroeder) prometen que esta condición garantiza la causalidad. ¿Por qué el elemento de la matriz $\langle\psi| \phi(x)\phi^\dagger(y)|\psi\rangle$ de interés físico?

¿Qué me impide cocinar un experimento que pueda medir $|\langle\psi| \phi(x)\phi^\dagger(y)|\psi\rangle|^2$ ? ¿Qué hay de malo en interpretar $\langle\psi| \phi(x)\phi^\dagger(y)|\psi\rangle \ne 0$ como la amplitud (más bien pequeña) que puedo transmitir información más rápido que la velocidad de la luz?

Answer 1

Recordemos que los observables conmutativos en la mecánica cuántica son observables simultáneamente. Si tengo observables A y B, y se conmutan, puedo medir A y luego B y los resultados serán los mismos que si midiera B y luego A (si insistes en ser preciso, entonces por igual me refiero en un sentido estadístico en el que tomo los promedios de muchos experimentos idénticos). Si no se intercambian, los resultados no serán los mismos: medir A y luego B producirá resultados diferentes que medir B y luego A. Así que si yo sólo tengo acceso a A y mi amigo sólo tiene acceso a B, midiendo A varias veces puedo determinar si mi amigo ha estado midiendo B o no.

Por lo tanto, es crucial que si A y B no conmutan, no están separados espacialmente. O para eliminar las dobles negaciones, es crucial que A y B deban conmutar si están separados espacialmente. De lo contrario, puedo saber haciendo mediciones de A si mi amigo está midiendo B o no, aunque la luz no haya podido llegar a mí desde B. Entonces, con la magia de un espaciotiempo lorentziano podría acabar viajando hasta mi amigo y llegar antes de que observara B e impedirle hacer la observación.

La función de correlación que has escrito, la que no tiene conmutador, es efectivamente distinta de cero. Esto representa el hecho de que los valores del campo en diferentes puntos del espacio están correlacionados entre sí. Esto está completamente bien, después de todo hay eventos que son comunes a ambos en su cono de luz pasado, si se retrocede lo suficiente. No han tenido historias completamente independientes. Pero la cuestión es que estas correlaciones no han surgido porque usted haya hecho mediciones. No puedes acceder a estas correlaciones haciendo experimentos locales en un punto fijo del espaciotiempo, sólo puedes ver estas correlaciones midiendo los valores del campo en la ubicación espacial x y luego comparando notas con tu amigo que midió los valores del campo en la ubicación espacial y. Sólo puedes comparar notas cuando has tenido tiempo de viajar para acercarte el uno al otro. El conmutador de fuga garantiza que tus mediciones en x no afectan a las mediciones de ella en y.

Es peligroso pensar que los campos crean partículas en lugares del espaciotiempo, porque no se puede localizar una partícula relativista en el espacio con una precisión mayor que su longitud de onda compton. Si piensas en campos en el espacio de posición es mejor pensar en lo que estás midiendo como un campo y no pensar en partículas en absoluto.

(En realidad, debería decir que no creo que puedas saber que tu amigo estaba midiendo B en y haciendo sólo mediciones en A. Pero el estado del campo cambiaría, y la evolución del campo sería acausal. Creo que este es un punto algo técnico, la idea principal es que no quieres ser capaz de afectar a lo que el campo está haciendo ALLÁ fuera del cono de luz haciendo mediciones AQUÍ porque te metes en problemas de causalidad)

Answer 2

Si quieres ver un pequeño cálculo para demostrar por qué la microcausalidad está relacionada con la desaparición del conmutador, aquí tienes un sencillo ejercicio que puedes hacer.

Considere algún operador $A(\vec{x},t)$ del que quiero medir el valor de expectativa del vacío en algún estado $\psi$ $$ \mathcal{E}_A(\vec{x},t) := \langle \psi|A(\vec{x},t)|\psi\rangle\,. $$ Ahora, dar una "patada" al hamiltoniano en un momento determinado $t_0$ (supongamos que $t_0 = 0$ ). Con esto quiero decir que perturbamos el hamiltoniano por algún operador que es distinto de cero sólo para $t > 0$ . A saber: $$ H = H_0 + \theta(t)\, V(t)\,. $$ ¿Cómo es el valor esperado de $A$ ¿se modifica después de esta perturbación? Parece que el enfoque más conveniente sería el imagen de interacción Así que hagamos eso. Sin revisar los detalles, definimos el estado $|\psi\rangle$ y los operadores $\mathcal{O}$ como operador de evolución temporal $\exp(i H_0 t)$ aplicado a la imagen de Schrödinger $$ \psi_{\mathrm{int}}(t) = e^{i H_0 t} \psi_{\mathrm{S}}(t)\,,\qquad H_{\mathrm{int}}(t) = e^{i H_0 t}H e^{-i H_0 t}\,. $$ El operador de evolución temporal $U(t,t_0)$ debe satisfacer $$ i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \psi_{\mathrm{int}}(t) := i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} U(t,t_0) \psi_{\mathrm{int}}(t_0) = \theta(t) V(t)\,U(t,t_0) \psi_{\mathrm{int}}(t_0)\,, $$ donde la primera igualdad es una definición de $U$ y la segunda su ecuación diferencial. A primer orden en la perturbación $V$ la solución es $$ U(t,t_0) = \mathbb{1} - i \int_{t_0}^t\mathrm{d}t' \,V(t') + O(V^2)\,,\qquad \forall\;t_0 > 0\,. $$ Hasta ahora todo estándar. El valor de la expectativa puede verse entonces transformado como $$ \begin{aligned} \mathcal{E}_A(\vec{x},t) &= \langle\psi(t)|A(\vec{x},t)|\psi(t)\rangle \\&= \langle \psi|U^\dagger(t,0)\, e^{i H_0 t} A(\vec{x},0)e^{-i H_0 t}\, U(t,0) |\psi\rangle \\& \simeq \mathcal{E}_A(\vec{x},0) - i\int_0^t \mathrm dt'\langle \psi| A(\vec{x},t) V(t') - V(t') A(\vec{x},t) | \psi \rangle\,. \end{aligned} $$ Aquí simplemente utilicé todas las definiciones del cuadro de interacción y amplié a primer orden en $V$ . Ahora hagamos una suposición física. Esto es similar a lo que se hace en la teoría de la respuesta lineal. Véase la Fórmula Kubo por ejemplo.

La perturbación $V$ que definí como una "patada" no sólo ocurre en un momento determinado, sino también en un lugar específico. Por lo tanto, modificará el Hamiltoniano como la integral de algún operador local $B$ . A saber: $$ V(t) = \int \mathrm{d}^{d-1} x B(\vec{x},t)\,. $$ A partir de esto se tiene $$ \mathcal{E}_A(\vec{x},t) - \mathcal{E}_A(\vec{x},0) = \int_0^t\mathrm{d}t'\int \mathrm{d}^{d-1} x'\,\langle\psi|\big[A(\vec{x},t)\,, B(\vec{x}{}',t')\big]|\psi\rangle\,. $$ Aquí se ve inmediatamente que la microcausalidad debe implicar que el correlador tiene que desaparecer fuera del cono de luz. Supongamos que $B$ crea una perturbación en algún lugar del espaciotiempo, es imposible que $A$ lo sabe si están separados por el espacio. Habría que esperar al menos el tiempo que tarda la luz en llegar para que se produzca un cambio en el valor de la expectativa. Por lo tanto, la única manera de preservar la causalidad es exigir $$ \big[A(\vec{x},t)\,, B(\vec{x}{}',t')\big] = 0\quad \mathrm{if}\; (x-x')^2 < 0\,. $$ Una simple contradicción que se podría cocinar es la siguiente: decirle a un amigo que haga una perturbación al Hamiltoniano en el tiempo $t = 0$ o no hacerlo. Entonces, te colocas en el espacio separado de tu amigo. Si $A$ y $B$ no conmutan puedes deducir si tu amigo ha decidido perturbar ser hamiltoniano o no con sólo medir $\mathcal{E}_A$ . Y como sabrás esto lleva a todo tipo de paradojas en la relatividad especial.