Probar que T es el polinomio de Taylor de f de grado n.

Question

Problema: Que $I$ sea un intervalo, $f \in C^n(I,\mathbb R), x_0 \in I,$ y $T$ un polinomio de grado $n$ con

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-T(x)}{(x-x_0)^n}=0.$$

Demuestre que T es el polinomio de Taylor de $f$ de grado $n$ en $x_0 $ .

Me he encontrado con varias preguntas que prueban que si T es un polinomio de Taylor entonces tenemos la ecuación anterior. Sin embargo, parece que no puedo averiguar cómo hacer mi camino hacia esta prueba, ya que es básicamente la petición de la otra dirección del teorema del polinomio de Taylor. Veo un patrón entre cómo el límite anterior es similar a lo que es la derivada de $f(x_0)$ pero necesito ayuda para ver el panorama general.

Sé que hemos terminado una vez que pruebe eso:

$$T(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}(x)}{k!}(x-x_0)^k$$

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Pista: El polinomio de Taylor $p(x)=\sum^n_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ satisface $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-p(x)}{(x-x_0)^n}=0$$ Véase, por ejemplo, lo siguiente publicando

Esto, combinado con sus suposiciones sobre el polinomio $T$ rinde $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{T(x)-p(x)}{(x-x_0)^n}=0$$

Desde $T$ y $p$ son polinomios de grado $n$ se deduce que $T(x)=p(x)$ .

---

Para la última afirmación, demuestre que si $\phi(x)=a_0+a_1x+\ldots +a_nx^n$ y $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\phi(x)}{x^n}=0$ entonces $\phi(x)\equiv0$ y así $a_j=0$ para $0\leq j\leq n$ .