$$\gamma(t)=(\log t\sqrt2,\frac{1}{3t},3t+1)$$ $$t\in [1/3,3]$$
mi intento :
la tangente a la curva es : $$\gamma'(t)=\left(\frac{\sqrt2}{t},\frac{-1}{3t^2},3\right)$$
la norma de la tangente a la curva: $$||\gamma(t)||=\left(\frac{2}{t^2}+\frac{1}{9t^4}+9\right)^\frac{1}{2}$$
ampliar y simplificar : $$||\gamma(t)||=\frac{((12t^2+5)(12t^2+1))^\frac{1}{2}}{6t^2}$$
No sé cómo proceder para resolver la integral a partir de esto
Estoy asumiendo que la curva es,
$$ \displaystyle ~\gamma(t)=(\sqrt2 \ln t,\frac{1}{3t},3t+1), t \in \left[1/3, 3\right]$$
Su trabajo es correcto hasta el paso,
$ \displaystyle ||\gamma(t)|| = \sqrt{\frac{2}{t^2}+\frac{1}{9t^4}+9}$
Pero su simplificación es incorrecta.
$ \displaystyle ||\gamma(t)|| = \sqrt{\frac{2}{t^2}+\frac{1}{9t^4}+9} = \sqrt{\left(\frac 1 {3 t^2} + 3 \right)^2}$
Así que la longitud de la curva es,
$ \displaystyle \int_{1/3}^3 \left(\frac 1 {3 t^2} + 3 \right) ~ dt$
que es una integral directa.
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