Número de factores del polinomio irreducible de grado $mn$ en $\mathbb{F}_p$ en $\mathbb{F}_{p^n}[x].$

Question

Dado un polinomio $f(x)$ de grado $mn$ en $\mathbb{F}_p$ ¿cómo podemos calcular cuántos factores irreducibles tiene en $\mathbb{F}_{p^n}[x]$ ?

Ya que tenemos $\mathbb{F}_p\subset \mathbb{F}_{p^n}\subset\mathbb{F}_{p^{mn}},$ debemos tener un factor de grado $m$ . Pero, ¿cómo podemos continuar este proceso? Estoy bastante seguro de que $f(x)$ debe ser el factor de un producto de polinomio de grado $m$ pero no veo una solución inmediata.

Answer 1

$$f=\prod_{k=1}^{mn} (x-a^{p^k}) =\prod_{l=1}^n \prod_{k=1}^m (x-(a^{p^l})^{p^{kn}})$$