Demuestra que para cualquier número entero $n^2 + 5$ no es divisible por $4$ .

Question

Así que tengo que hay dos casos: impar o par. Si es impar entonces digamos $n^2$ est $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1.$ entonces $4k^2 + 4k + 1 + 5$ tendría que ser divisible por 4 y no sé a dónde ir desde allí.

Answer 1

Para un nivel de matemáticas elemental, sólo hay que probar el caso utilizando el hecho de que todo entero tiene un resto de $0,1,2$ o $3$ cuando se divide por $4$ . (también conocido como uso de congruencias)

$n=4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3$ .

Por ejemplo, claramente $n$ no puede ser un múltiplo de $4$ .

$n=4k$ implica $n^2 +5 = 16k^2 + 4 + 1 = 4(4k^2 +1) + 1$ . Resto 1 ... siguiente caso

Answer 2

También es posible utilizar un reducción ad absurdum lo que evita el uso de casos. Supongamos que $ \ n^2 \ + \ 5 \ $ fueron divisible por 4 . Entonces $ \ n^2 \ + \ 1 \ $ también debe serlo. Esto requiere que $ \ n^2 \ $ y por lo tanto $ \ n \ $ ser impar. El resto de la prueba es como la discutieron casi todos aquí: $ \ n^2 \ $ debe tener entonces la forma $ \ (2m \ + \ 1)^2 \ $ [ $ \ m \ $ un número entero] , dando $ \ n^2 \ + \ 1 \ = \ (4m^2 \ + \ 4m) \ + \ 2 \ $ Así que, de hecho, esto es no divisible por 4 . Por lo tanto, $ \ n^2 \ + \ 5 \ $ tampoco lo es.

En realidad estabas mirando el resultado que te daría la prueba, ya que $ \ 4 k^2 \ + \ 4k \ + \ 1 \ + \ 5 \ = \ (4 k^2 \ + \ 4k \ + \ 4) \ + \ 2 \ $ también tiene el resto de 2 .

Answer 3

$n = 2q\!+\!r,\,\ r=\color{#0a0}0\,$ o $\,\color{#c00}1,\ $ así que $\ 4\mid n^2\!+\!5 = 4(q^2\!+\!qr)+r^2\!+\!5\,\Rightarrow\,4\mid \color{#0a0}0^2\!+\!5\,$ o $\,4\mid \color{#c00}1^2\!+\!5\,\Rightarrow\Leftarrow$

Answer 4

Estás a mitad de camino, sólo tienes que llevar tu reescritura al siguiente paso lógico. Si $n$ es impar, entonces $n^2 = 4k^2 + 4k + 6$ (todo lo que hice allí fue añadir el $1$ y el $5$ que ya se le había ocurrido). Claramente $4k^2 + 4k$ es par y divisible por $4$ y también lo es $4k^2 + 4k + 4$ . Pero $4k^2 + 4k + 6$ es uniforme pero no divisible por $4$ .

El caso par es mucho más fácil: si $n$ es par, entonces $n^2 + 5$ es impar.