Demuestra que para cualquier número entero $n^2 + 5$ no es divisible por $4$ .

Question

Así que tengo que hay dos casos: impar o par. Si es impar entonces digamos $n^2$ est $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1.$ entonces $4k^2 + 4k + 1 + 5$ tendría que ser divisible por 4 y no sé a dónde ir desde allí.

Answer 1

Si $n^2 + 5$ es divisible por $4$ entonces $3$ es un cuadrado en $\mathbb Z_4$ lo cual es imposible porque las únicas casillas en $\mathbb Z_4$ son $0$ y $1$ .

Answer 2

Esta puede ser la forma más fácil de solucionarlo (en realidad se utiliza la idea de Ittay, pero se profundiza un poco más).

impar: Supongamos que $n$ es impar; es decir, supongamos $n=2\ell+1$ , donde $\ell\in\mathbb{Z}$ . Entonces tenemos que $$ n^2+5=(2\ell+1)^2+5=4\ell^2+4\ell+1+5=4(\ell^2+\ell+1)+2, $$ y esto claramente no puede ser divisible por $4$ .

Incluso: Supongamos que $n$ es par; es decir, supongamos que $n=2\ell$ , donde $\ell\in\mathbb{Z}$ . Entonces tenemos que $$ n^2+5=(2\ell)^2+5=4\ell^2+5=2(2\ell^2+2)+1=2m+1, $$ donde $m\in\mathbb{Z}$ . Así, cuando $n$ es uniforme, podemos ver que $n^2+5$ no es divisible por $4$ .

Por lo tanto, cuando $n$ es par o impar, la cantidad $n^2+5$ no será divisible por $4$ .

Answer 3

Si $n$ es par, escriba $n=2k$ y ahora calcula $n^2+5$ en términos de $k$ para ver que es un número impar, por lo tanto no es un múltiplo de $4$ . Si $n$ es impar, entonces escribe $n=2k+1$ , calcula de nuevo, y mira lo que tienes, y averigua por qué no puede ser un múltiplo de $4$ .

Answer 4

$n$ es par o impar.

$n$ está en paz: $n = 2m \Rightarrow n^2 + 5 = 4m^2 + 5 = 4(m^2 + 1) + 1$ que no es divisible por $4$ .

$n$ es impar: $n = 2m+1 \Rightarrow n^2 + 5 = 4m^2 + 4m + 1 + 5 = 4(m^2 + m + 1) + 2$ que no es divisible por $4$ .

Answer 5

Cuando $n$ está en paz, $n^2$ también debe ser par.Entonces $n^2+5$ debe ser impar, por lo que no se puede dividir por 4.

Cuando $n$ es impar, digamos $n=2k+1$ entonces $n^2+5=(2k+1)^2+5=4k^2+4k+6$ .desde $4k^2$ y $4k$ puede ser dividido por 4, esto simplemente es sobre si 6 puede ser dividido por 4.