¿Qué propiedades topológicas son invariantes bajo difeomorfismo?

Question

En Topología General si tenemos un espacio topológico $(X, \mathcal{T})$ que es homeomorfo a otro espacio $(Y, \mathcal{K})$ Hay una serie de propiedades topológicas, como la compacidad, la conectividad, la conectividad del camino, que son invariantes bajo el homeomorfismo.

En Topología Algebraica si tenemos espacios topológicos homeomórficos $(X, \mathcal{T})$ y $(Y, \mathcal{K})$ entonces podemos concluir que tienen grupos fundamentales isomorfos $\pi_1(X) \cong \pi_1(Y)$

Pero en Topología Diferencial, la cuestión de qué propiedades topológicas son preservadas por los difeomorfismos parece ser algo que no puedo responder del todo en este momento.

Ciertamente, los difeomorfismos son versiones más fuertes de los homeomorfismos, por lo que todas las cosas que esperamos que sean invariantes bajo los homeomorfismos (compacidad, conectividad, etc.) son también invariantes bajo los difeomorfismos.

Sin embargo, me gustaría saber si hay más propiedades topológicas (o quizás no topológicas) que sean invariantes bajo difeomorfismo.

Answer 1

Su pregunta tiene dos partes:

¿Existen otras propiedades topológicas que sean invariantes bajo difeomorfismo?

La respuesta directa es ésta: Los difeomorfismos conservan exactamente las mismas propiedades topológicas que los homeomorfismos; ni más ni menos.

La razón de esto es esencialmente de definición: A propiedad topológica es, por definición, una propiedad que se conserva mediante homeomorfismos. Como todo difeomorfismo es un homeomorfismo, toda propiedad topológica se conserva mediante difeomorfismos. Y si una propiedad particular de las variedades lisas es preservada por difeomorfismos pero no por homeomorfismos, entonces no es una propiedad topológica.

La otra mitad de su pregunta era

¿Existen otras propiedades no topológicas que sean invariantes bajo difeomorfismo?

Esta es una pregunta más interesante. Pero primero hay que establecer una categoría apropiada de espacios para trabajar -- los difeomorfismos sólo se definen entre colectores lisos que son variedades topológicas con una estructura adicional llamada estructura suave . Así que la pregunta adecuada es si hay propiedades no topológicas de las variedades lisas que se conservan mediante difeomorfismos. Las hay, pero son más sutiles. Por ejemplo, una de esas propiedades para las variedades lisas compactas es si limitan las variedades paralelas (lisas). Esta es una de las formas de distinguir las esferas exóticas.

Answer 2

No es cierto que los espacios con grupos fundamentales isomorfos sean homeomorfos. Por ejemplo, el círculo y el cilindro infinito. Ambos tienen grupo fundamental $\mathbb{Z}$ Sin embargo, uno es compacto y el otro no.

En cualquier caso, dejando esto de lado, la verdadera respuesta a tu pregunta es que los homeomorfismos pueden ser arbitrariamente cuadriculados, mientras que los difeomorfismos, al necesitar ser diferenciables, sólo pueden ser tan cuadriculados. Esto significa que el difeomorfismo va a preservar propiedades locales que no son preservadas por el homeomorfismo. Un ejemplo de esto es la dimensión de Hausdorff de un espacio, como un copo de nieve de Koch o un conjunto de Julia. Si se toma algún autodifeomorfismo del plano, la dimensión de Hausdorff de la imagen del fractal será la misma que la dimensión de Hausdorff del fractal original. Sin embargo, ¡los homeomorfismos no harán esto! Algo como el copo de nieve de Koch será homeomorfo a un círculo.

Una buena forma de encontrar otros ejemplos es recordar que los difeomorfismos sólo tienen sentido en espacios que nos permiten hablar de diferenciabilidad, es decir, que son en cierto sentido euclidianos. Así que si sólo pensamos en espacios métricos ordinarios, podemos encontrar un ejemplo fácil: las secuencias de Cauchy. La mayoría de los espacios métricos no son completos. Los homeomorfismos preservarán la propiedad de convergencia, pero como el espacio puede no ser completo, podemos tener puntos límite perdidos. El ejemplo más fácil que se me ocurre es algo como la secuencia $1/n$ en el punto que se asigna a algo como $(0, 1/n)$ en el espacio hiperbólico, donde las distancias entre los puntos van al infinito como $y \to 0$ . Sin embargo, podemos hacer que el espacio hiperbólico sea localmente euclidiano utilizando el concepto de colector diferenciable, pero creo que la cuestión está clara pensando en el espacio hiperbólico en el sentido de la geometría sintética.

Sin embargo, se puede pasar del difeomorfismo a cosas como la isometría cuando se trata de variedades riemannianas, que también tienen un gran número de propiedades que preservan, que no son visibles en las variedades topológicas en absoluto. Por ejemplo, la curvatura, las geodésicas y una serie de otras propiedades intrínsecas.

Answer 3

Uno de los teoremas más difíciles sobre las variedades es el teorema de Novikov de 1966 según el cual la Clases de Pontryagin de una variedad lisa, que ya habían sido bien entendidas como invariantes de difeomorfismo durante un par de décadas antes, eran en realidad invariantes bajo homeomorfismos también.

Answer 4

"Sin embargo, me gustaría saber si hay más propiedades topológicas (o quizás no topológicas) que sean invariantes bajo difeomorfismo"

Sí. Si consideras los difeomorfismos, la propia estructura diferencial es un invariante. Mira aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4