$(\frac1n \sum_{j\not=i} Z_j - \frac{n-1}nZ_i) \sim N(0, \frac{n-1}n)$

Question

En la conferencia, demostramos que $\overline{Z}$ y $\sum_{i=1}^n(Z_i-\overline{Z})^2$ son independientes, pero no sigo un paso. La prueba es la siguiente.

$Z_i \sim N(0,1)$ y $\overline{Z} \sim N(0,\frac1n)$ y $Z_i$ es iid.

$Z_i - \overline{Z} = (\frac1n \sum_{j\not=i} Z_j - \frac{n-1}nZ_i)$ .

$(\frac1n \sum_{j\not=i} Z_j - \frac{n-1}nZ_i)\sim N(0, \frac{n-1}n)$ .

$Cov(Z_i, \overline{Z}) =\frac1n$ .

...

No entiendo por qué la variación de $(\frac1n \sum_{j\not=i} Z_j - \frac{n-1}nZ_i)$ est $\frac{n-1}n$ . Nuestro profesor dijo que es fácil de averiguar, pero yo no puedo. ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Escríbalo como $\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^{n} Z_i -Z_i$ . El primer término, llámese $Y_n$ es normal con media $0$ y la varianza $\frac 1 n$ . Por lo tanto, $E(Y_n-Z_i)^{2}=EY_n^{2}-2EY_nZ_i+EZ_i^{2}=\frac1 n -\frac 2 n+1 =\frac {n-1} n$ .

Answer 2

En primer lugar, tienes un problema de señalización: $$Z_i - \overline Z = Z_i - \frac 1n\sum_{j}Z_j = Z_i - \frac 1nZ_i - \frac 1n\sum_{j \neq i}Z_j = \frac {n-1}nZ_i - \frac 1n\sum_{j \neq i}Z_j.$$

Después de eso, sólo hay que utilizar la independencia entre el $Z_i$ 's: $$Var\left[\frac {n-1}nZ_i - \frac 1n\sum_{j \neq i}Z_j\right] = Var\left[\frac {n-1}nZ_i\right] \color{red}{+} Var\left[\frac 1n\sum_{j \neq i}Z_j\right] = \frac {(n-1)^2}{n^2}Var Z_i + \frac 1{n^2}\sum_{j \neq i}Var\left[Z_j\right]$$

Observa que el signo menos se convierte en un signo más.

Supongo que para todos $i$ : $Z_i \sim \mathcal N(0, 1)$ . Por lo tanto, $Var Z_i = 1$ para todos $i$ . Por lo tanto: $$Var\left[\frac {n-1}nZ_i - \frac 1n\sum_{j \neq i}Z_j\right] = \frac {(n-1)^2 + (n-1)}{n^2} = \frac {n-1}{n^2}(n-1 + 1) = \frac {n-1}n.$$