Extender un paquete "trivialmente"

Question

Supongamos que tengo un haz de fibras $E\to B$ con fibra compacta. Además, $B$ está abierto en un espacio más grande y compacto, por ejemplo $B\subseteq B'$ . Quiero conseguir un mapa $E'\to B'$ (¡ya no es un paquete!) con

1. $E'|_B = E$
2. Para $x\in B'\setminus B$ cada fibra es sólo un punto.
3. $E'$ es un espacio compacto.
4. Cada sección $\omega:B\to E$ puede ampliarse a $\omega':B'\to E'$ .

La idea es "colapsar" toda la fibra al llegar al límite de $B$ .

Por ejemplo, si $E:=[0,1]\times (0,1)$ , $B:=(0,1)\subseteq [0,1]:=B'$ y el paquete $E\to B$ es la proyección, ésta debe extenderse en $B':=[0,1]$ a $E'=\Sigma [0,1]$ .

¿Existe una forma precisa de dar esta construcción topológica de forma explícita?

Answer 1

Deberías ser capaz de construir esto "directamente" de forma similar a la construcción de la compactación de un punto. Explícitamente, se pone $E' = E \cup (B'\setminus B)$ y tomar los conjuntos abiertos como sigue: para cada conjunto abierto $U$ de $B'$ y cada conjunto abierto $V$ de $E$ , toma $V \cup \pi^{-1}(U \cap B) \cup (U \setminus B)$ como un conjunto abierto.

La prueba de que esto define una topología válida y que $E'$ es compacta debería ser similar a las pruebas análogas para la compactación de un punto.

EDIT: Acabo de darme cuenta de que lo primero que escribí para los conjuntos abiertos estaba mal y acabo de corregirlo. Creo que he confirmado que lo que tengo ahora es correcto, puedo escribir una prueba si quieres.