Mapas birracionales y grupos de Picard

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son curvas, y supongamos que $f: Y \to X$ es un mapa biracional. Si $f$ es biyectiva sobre puntos geométricos, ¿qué se puede decir del mapa inducido sobre los grupos de Picard $Pic(X) \to Pic(Y)$ ¿tomando los retrocesos? Creo que esto es siempre suryectivo, pero no sé cómo demostrarlo. ¿Cuándo es este mapa un isomorfismo?

¿Qué se sabe en el caso de los esquemas de mayor dimensión?

Answer 1

Para las curvas reducidas sobre campos algebraicamente cerrados, esto es cierto incluso sin la suposición de la biyectividad de los puntos. Esto se debe a que, dado cualquier haz de líneas sobre $Y$ se puede representar como un divisor de Cartier cuyo soporte evita cualquier conjunto finito de puntos. Así que eligiendo todos los puntos singulares (que son finitos ya que la curva es reducida) y los puntos finitos donde el mapa no es un isomorfismo, vemos que la imagen del divisor es un divisor de Cartier en $X$ cuyo retroceso es claramente el mismo divisor con el que empezamos.