¿Por qué nos fijamos en morfismos?

Question

Estoy leyendo algunas notas de la conferencia y en un párrafo es el siguiente motivación: "La mejor manera de estudiar los espacios con una estructura es por lo general para ver los mapas entre ellos la preservación de la estructura (lineal mapas, continua mapas diferenciables mapas). Un importante caso especial es generalmente de las funciones para el campo de tierra."

¿Por qué es una buena idea para el estudio de un espacio con estructura mirando los mapas que conservar esta estructura? A mí me parece como si uno logra no tanto por ir de una "copia" de una estructura de espacio para otra copia.

Answer 1

Es difícil responder a esta pregunta porque es difícil decir lo que los matemáticos se refieren cuando hablan de la estructura. Varias tentativas de definir estructuras y su fracaso definitivo se narra en el libro de Álgebra Moderna y el Surgimiento de Estructuras Matemáticas por Leo Corry.

En lugar de tratar de dar una definición intrínseca de la estructura, podemos ver lo que entendemos y lo que hacemos con las estructuras en las matemáticas. Intuitivamente, la estructura es algo muy profundo que va más allá de la mera superficie de las propiedades de un objeto. Diferentes objetos matemáticos son estructuralmente el mismo, las diferencias son superficiales.

Una forma indirecta de delinating estructura es definir lo que significa el cambio de las propiedades superficiales de un objeto sin cambiar la estructura. Como un simple ejemplo, en el proceso de la adición de "objetos". Usted puede agregar hasta tres manzanas y dos manzanas por la obtención de un recipiente que contiene tres manzanas y un recipiente que contiene dos manzanas. "Agregar" al verter el contenido de un recipiente en otro cuenco. Ahora las manzanas son muy concretos, los objetos, pero no es la estructura del proceso de. Hay números. Usted ve que mediante la sustitución de cada manzana, en cada tazón por una naranja. Al parecer, usted puede "añadir" naranjas de la misma manera que usted puede agregar las manzanas. Al reemplazar cada manzana una naranja, puede mantener su número de la misma. Y este proceso de abstracción es essetially lo que hacemos cuando hacemos uso de los números en el mundo real. El concepto de (recuento) de los números es, básicamente, que hay algunos en el fondo de la estructura que mantiene el mismo cuando nos reemplazar los objetos. El cambio de las manzanas a las naranjas a las piedras, a las ovejas... son todas las transformaciones que no cambie la estructura subyacente.

Un paso importante en la geometría fue la idea de que uno puede definir estructuras geométricas tomando una clase de transformaciones de un objeto geométrico y declarando que la estructura es lo que no es cambiado por el de las transformaciones, es lo que es invariante. Esta es básicamente la esencia de el programa de Erlangen, en geometría, desarrollado por Felix Klein y un gran paso en la historia estructural de las matemáticas. Esto muestra el uso de la sustitución de un objeto por un equivalente. Lo que tenemos que aprender es que el proceso de sustitución de los objetos no cambia la estructura y si sabemos que todos estos admisible formas de colocación de los objetos, sabemos de la estructura.

Hasta ahora, hemos considerado sólo los cambios reversibles o transformaciones. Pero hay buenas razones para permitir un camino de transformaciones. La razón de que son útiles es esencialmente la razón son útiles los mapas. Si tenemos en cuenta que un país sea un mapa de sí mismo, al menos tan útil como una real 1:1-mapa del país, se puede sustituir el país por un simple mapa que es suficiente para, por ejemplo, un conductor de taxi. Podemos usar el mismo mapa para dibujar un aún más simple mapa, que es simplemente bueno para la obtención de la estación de tren para el grand hotel. Ninguno de estos procesos son reversibles, no podemos usar el mapa sencillo para dibujar el mapa más grande sin obtener la necesaria información adicional - o en la estructura de algún lugar. Así que podemos ver a estos de una manera transformaciones, como una manera de preservar las piezas de la estructura.

Leer Más:

Cuando una cosa es igual a otra cosa? por Barry Mazur da una motivación detallada de la abstracción de proceso subyacente de la categoría de teoría y añade un montón de profundidad.

Cien Años de Números. Una Introducción Histórica a la Teoría de la Medición 1887-1990 por José Díez (parte 2 aquí) muestra cómo la estructura de las ideas importa cuando queremos formalizar lo que significa medir algo en la ciencia.

Answer 2

Me voy a dar alguna razón no creo que puedan encontrar todos los conjuntos de razones. A partir de aquí me voy a referir a los mapas que preservan la estructura como morfismos.

1. El estudio de morfismos de una strucure siempre llevar a cabo alguna información acerca de la estructura de la misma, por ejemplo, buscando en el grupo de automorfismos de dos estructuras pueden ayuda a nosotros para decir si dos estructuras no son isomorfos, isomorfo estructuras debe tener algún grupo de automorfismos. En algunos casos, casi todos, morfismos contienen toda la información acerca de la estructura: por ejemplo, el espacio $\mathbf{Top}(\bala,X)$, de función continua desde el punto de espacio para el espacio de $X$, es homemorphic para el espacio de $X$, de modo similar, el grupo de $\mathbf{Grp}(\mathbb Z,G)$ de la homomorphisms desde el grupo de $\mathbb Z$ al grupo $G$, con la de las componentes del producto, es isomorfo al grupo G y así sucesivamente. Otros ejemplos más interesantes vienen de la topología son bucle de espacios, foundamental grupos de homología y cohomology grupos (por ejemplo singular de homología que se ocupa esencialmente continuo con los mapas de simplices en el espacio que queremos estudiar), pero se puede ir.

2. A menudo el estudio de una estructura dada es útil tener varios de presentación, es decir, las diversas estructuras de ejemplo isomorfo a la estructura en la que se le pueden hacer algunos cálculos, eso es muy importante, porque en este tipo de estructuras es más fácil probar algunos hechos acerca de la estructura misma. Esto es lo que hacemos cuando se trata con representación lineal de grupos y álgebras, o grupo de acciones, o topológico de acciones, o de las representaciones de espacios vectoriales en $\mathbb K^\alpha$ para algunos ordinal $\alpha$, a través de una elección de una base en el espacio vectorial ($\mathbb K$ es el campo subsumido).

3. Muchas de las propiedades relativas de las estructuras pueden ser expresadas de una manera muy útil a través de propiedades universales es decir, de la categoría de lenguaje, que es el lenguaje de morfismos. Esto es realmente útil por muchas razones, en primer lugar permite ver unidad más profunda en la construcción se acumulan en diferentes familias de estructuras (es decir, diferentes categorías), ayuda a ver cómo traducir resultado de un entorno (categoría) de uno a otro, permite generalizar un resultado conocido en una clase particular de estructuras de otras similares, sugiere la definición correcta para el nuevo concepto en el nuevo entorno (personalmente no sé cómo definir el producto entre el cuasi-algebraica proyectiva variedades sin la morfismos(categoría)la teoría de la lengua).

Ahora que no estoy viendo otras razones, pero me reservo para mí el derecho a añadir algunas cosas más tarde.

Answer 3

No hay ninguna respuesta corta y simple, como ya se ha mencionado en los comentarios. Es un cambio general de la perspectiva de lo que ha sucedido durante el siglo 20. Creo que si le hubieras preguntado a un matemático alrededor de 1900, lo que la matemática es todo acerca de él/ella habría dicho: "Hay ecuaciones que debemos resolver" (lineal o polinomial ecuaciones, ecuaciones diferenciales e integrales, etc.).

A continuación, alrededor de 1950 que se han reunido a más y más gente que dice: "no son espacios con una estructura determinada y mapas entre ellos". Hoy, más y más gente iba a añadir "...que en conjunto se denominan categorías".

Básicamente se trata de un cambio hacia una mayor abstracción, hacia el estudio de los espacios de Banach en lugar de los racimos de espacios concretos que tienen una isomorfo espacio de Banach de la estructura, o el estudio de un resumen de grupo en lugar de un montón de isomorfo representaciones etc.

Estoy seguro de que todo esto se aclarará después de algunos años de estudio.

Answer 4

El estudio de la estructura de un objeto es la producción de teoremas acerca de este objeto que te da información acerca de este objeto. Si usted quiere entender la estructura de un objeto por estudiar la forma en que se asigna a otro de los objetos, entonces $\textbf{hemos}$ para retener su atención a los mapas que preservan la estructura ! Usted no puede esperar para obtener información acerca de la estructura si usted está buscando en mapas que no tienen nada que ver con ella. En este caso, la preservación de la estructura es la que menos se puede pedir a un mapa que se está visualizando.

Las dos preguntas importantes, son, pienso : ¿por qué estudiamos las estructuras ? ¿qué podemos esperar a partir del estudio de los mapas de preservar estas estructuras ?

¿Por qué estudiamos las estructuras ?

Los matemáticos trabajo, creo que es en la detección de algún tipo de estructura $\textbf{hidden}$ en un objeto, entonces el estudio de la estructura, y esperamos que ayude a entender el objeto mejor. Dos ejemplos : la observación de que el conjunto de las permutaciones de un conjunto $X$ posee una operación natural, la composición de los mapas, y que esta operación tiene un cierto número de conocidas propiedades led de los matemáticos para el estudio de los objetos llamados grupos. Esta observación ha sido uno de los más importantes en la historia de las matemáticas. El segundo ejemplo es el campo de $\mathbb{C}$ construido por la adición de algún elemento especial de $i$ a $\mathbb{R}$. Es sólo una expresión algebraica objeto, hasta que descubre que su topología muy interesante propiedades topológicas, que resultan ser muy útil cuando se desea demostrar que es algebraicamente cerrado.

Qué podemos esperar del estudio de los mapas de preservar estas estructuras ?

Si quieres estudiar la estructura de un objeto que se asigna a otro objeto sobre el que usted sabe mucho, entonces usted puede esperar a $\textbf{transporte}$ la información que usted sabe, el uso de estos mapas ! Esto sucede todo el tiempo : si usted tiene un uno-a-uno lineal mapa entre dos espacios vectoriales, se puede deducir que la dimensión de la primera es menor que la de los segundos. Si usted tiene un continuo surjective mapa de la conexión de un espacio topológico, espacio, se puede deducir que está conectado.