¿Por qué es $\sqrt{x^2}= |x|$ en lugar de $\pm x$ ?

Question

¿La raíz cuadrada de un número no debería tener una raíz negativa y otra positiva? Según Barron's, $\displaystyle \sqrt{x^2} = |x|$ . No entiendo cómo.

Answer 1

Es convencional que la notación $\sqrt x$ es la raíz cuadrada no negativa de $x$ .

Efectivamente, hay dos raíces cuadradas de $x$ y para los números no negativos $x$ sólo uno de los dos se denota convencionalmente $\sqrt x$ .

Answer 2

No confundas $x^2=a^2$ que es un ecuación que tiene dos raíces de signo contrario, $\pm\sqrt{a^2}$ y el expresión $\sqrt{a^2}$ que es un número positivo, igual a $|a|$ .

Answer 3

Esta es una pregunta muy común. Básicamente, a la gente le gusta pensar, por ejemplo, que $\sqrt{9}$ es "el número tal que cuando lo elevas al cuadrado, obtienes 9". Así que la gente piensa que esto debe ser $\pm 3$ . Pero eso no es lo que pedimos con la raíz cuadrada. Con $\sqrt{9}$ , pedimos "la positivo número tal que al cuadrado es igual a $9$ ". Esto significa que $\sqrt{9} = 3$ (o $\sqrt{3^{2}} = |3|$ ).

La primera pregunta (errónea) aplicada a la raíz cuadrada debería utilizarse en realidad para resolver la ecuación $x^{2} = 9$ . Para resolver esto, necesitamos "encontrar el número tal que al cuadrado sea igual a $9$ ", lo que significa que la solución es $x = \pm 3$ .

Answer 4

Porque incluso si $x$ es negativo $x^2$ es positivo, por eso cuando haces $\sqrt{x^2}$ primero se evalúa $x^2$ que es positivo sin importar si $x$ es negativo o positivo. Entonces se aplica la raíz cuadrada que también es positiva y por eso $\sqrt{x^2} = |x|$ también aviso. Evaluamos la expresión al revés.

$$\sqrt{\color{red}{inside}}$$