¿Cómo pensar en las álgebras? ¿Existen interpretaciones geométricas de las álgebras de carbón? Si pienso en las álgebras y los módulos como espacios y haces vectoriales, ¿qué son las álgebras y los códices? ¿Qué ejemplos básicos de álgebras de carbón hay que tener en cuenta?
Todo lo que ayude a pensar en las álgebras sin dolor de cabeza es bienvenido ;)
Lo siguiente no responde a su pregunta, sino que da un ejemplo particular en un caso especial:
Las álgebras de Hopf conmutativas tienen una interpretación geométrica, son los anillos de coordenadas de los esquemas de grupos afines a través del lema de Yoneda. A través de esta interpretación, los códulos para el anillo de coordenadas son sólo módulos para el esquema de grupo.
Ejemplos de álgebras de Hopf (no estoy muy familiarizado con las álgebras de carbón, que no son álgebras de Hopf) que creo que hay que tener en cuenta:
Esto también viene más del punto de vista de Hopf que del punto de vista estrictamente de álgebra.
Si pensamos en las álgebras heurísticamente como funciones, entonces un álgebra de Hopf heurísticamente puede pensarse como el álgebra de funciones de un grupo. Una representación del grupo $G$ en un espacio vectorial $V$ puede considerarse como un mapa $$ G \times V \to V. $$ La dualización da (aproximadamente) un mapa $$ V^* \to V^* \otimes \mathcal{F}(G),$$ donde $\mathcal{F}(G)$ es un álgebra de Hopf apropiada de funciones sobre $G$ . En otras palabras, un comódulo puede ser considerado como una representación de la estructura de grupo subyacente al álgebra.
Si tienes un espacio $V$ que es a la vez un módulo y un comodín para $\mathcal{F}(G)$ con cierta compatibilidad, entonces $V$ es el espacio de secciones de algún haz vectorial homogéneo sobre $G$ (el teorema del módulo de Hopf). Funciones sobre $G$ actúan por multiplicación puntual en las secciones, y $G$ también actúa sobre las secciones por traslación en la base.
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